Determine os índices de Miller de um plano que faz interseções nos pontos (1, 2, 3) e (-1, 1, 2) em uma célula unitária cúbica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os índices de Miller de um plano que passa pelos pontos e em uma célula unitária cúbica. Então, estamos lidando com cristalografia e os índices de Miller, que são uma maneira de descrever planos cristalinos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os interceptos do plano com os eixos da célula e, a partir daí, calcular os índices de Miller.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano que passa pelos dois pontos dados. Sabemos que a equação geral de um plano no espaço é:
Ax + By + Cz + D = 0
Como temos dois pontos, podemos usar esses pontos para encontrar uma relação entre , , , e .

Passo 3

Vamos substituir os pontos na equação do plano:
Para A(1) + B(2) + C(3) + D = 0 Rightarrow A + 2B + 3C + D = 0 (1) :
A(-1) + B(1) + C(2) + D = 0 Rightarrow -A + B + 2C + D = 0 (2)
Para :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com quatro incógnitas. Para resolver isso, podemos assumir um valor para uma das variáveis. Geralmente, assumimos A + 2B + 3C + 1 = 0 Rightarrow A + 2B + 3C = -1 (3) para simplificar os cálculos.
Substituindo -A + B + 2C + 1 = 0 Rightarrow -A + B + 2C = -1 (4) nas equações (1) e (2):

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações (3) e (4) para encontrar as relações entre A + 2B + 3C - A + B + 2C = -1 -1 Rightarrow 3B + 5C = -2 (5) , 3B + 5(1) = -2 Rightarrow 3B = -7 Rightarrow B = -73 e -A + (-73) + 2(1) = -1 Rightarrow -A -73 + 2 = -1 .
Somando as equações (3) e (4):
-A - 73 + 63 = -1 Rightarrow -A - 13 = -1
Podemos escolher um valor para uma das variáveis. Vamos assumir -A = -1 + 13 = -23 Rightarrow A = 23 :
Agora, substituindo e em (4):

Passo 6

Agora que temos 23x - 73y + z + 1 = 0 , 2x - 7y + 3z + 3 = 0 e , podemos escrever a equação do plano:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:

Passo 7

Para encontrar os interceptos com os eixos, vamos colocar o plano na forma intercepta:
xa + yb + zc = 1
Assim, rearranjando a equação do plano:
2x - 7y + 3z = -3 Rightarrow 2x-3 + -7y-3 + 3z-3 = 1
x-32 + y37 + z-1 = 1
Portanto, os interceptos são:
a = -32, b = 37, c = -1

Passo 8

Os índices de Miller são os recíprocos dos interceptos com os eixos, em valores inteiros mínimos. Então, vamos calcular os recíprocos:
h = 1a = 1-32 = -23
k = 1b = 137 = 73
l = 1c = 1-1 = -1
Agora, para tornar os índices inteiros, multiplicamos todos por 3:
h = -2, k = 7, l = -3

Resposta

Os índices de Miller do plano são .

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