Determine os índices de Miller de um plano que faz interseções nos pontos (1, 2, 3) e (-1, 1, 2) em uma célula unitária cúbica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os índices de Miller de um plano que passa pelos pontos
e
em uma célula unitária cúbica. Então, estamos lidando com cristalografia e os índices de Miller, que são uma maneira de descrever planos cristalinos. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os interceptos do plano com os eixos da célula e, a partir daí, calcular os índices de Miller.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano que passa pelos dois pontos dados. Sabemos que a equação geral de um plano no espaço é:
Como temos dois pontos, podemos usar esses pontos para encontrar uma relação entre
,
,
, e
.
Passo 3
Vamos substituir os pontos na equação do plano:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com quatro incógnitas. Para resolver isso, podemos assumir um valor para uma das variáveis. Geralmente, assumimos
para simplificar os cálculos.
Substituindo
nas equações (1) e (2):
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações (3) e (4) para encontrar as relações entre
,
e
.
Somando as equações (3) e (4):
Podemos escolher um valor para uma das variáveis. Vamos assumir
:
Agora, substituindo
e
em (4):
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a equação do plano:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Passo 7
Para encontrar os interceptos com os eixos, vamos colocar o plano na forma intercepta:
Assim, rearranjando a equação do plano:
Portanto, os interceptos são:
Passo 8
Os índices de Miller são os recíprocos dos interceptos com os eixos, em valores inteiros mínimos. Então, vamos calcular os recíprocos:
Agora, para tornar os índices inteiros, multiplicamos todos por 3:
Resposta
Os índices de Miller do plano são
.