Dois carros,
e
, movem-se no mesmo sentido, com velocidades
e
, respectivamente. Quando o carro
está à distância
atrás de
, o motorista do carro
pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante
. Demostre que, para não haver colisão entre
e
, é necessário que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Aqui a gente tem dois carros, o A e o B, indo na mesma direção. O A está atrás do B numa distância
e tem uma velocidade
, enquanto o B vai mais devagar com velocidade
. Quando o A pisa no freio, ele desacelera de forma constante com uma taxa
. Nosso objetivo é mostrar que, pra não rolar uma batida entre eles, a diferença de velocidade entre os dois (
) precisa ser maior que
. Vamos usar um pouco de física e matemática, mas de um jeito bem tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada carro se move depois que o A freia. O carro B continua na velocidade constante
. Já o carro A está desacelerando, então sua velocidade muda com o tempo. A gente pode usar as equações de movimento para descrever isso.
Para o carro A, a posição dele em função do tempo é:
Onde
é a posição inicial do A.
Para o carro B, como ele não está acelerando, a posição é:
Como o A está atrás do B na distância
, temos que
.
Passo 3
A gente quer garantir que o carro A nunca ultrapasse o carro B, ou seja,
para todo
. Vamos substituir as expressões de
e
:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 4
Vamos reorganizar essa inequação para facilitar:
Fatorando
:
Essa inequação nos diz que a diferença de velocidade multiplicada pelo tempo menos a desaceleração multiplicada pelo tempo ao quadrado deve ser menor ou igual a
. Para garantir que isso seja verdade para todo
, precisamos que a expressão quadrática
nunca seja positiva.
Para isso, o discriminante dessa equação quadrática deve ser menor ou igual a zero:
Simplificando:
Mas como queremos garantir que não haja colisão, a diferença de velocidade deve ser maior que isso. Então invertendo a inequação:
Resposta
Para evitar uma colisão entre os carros A e B, é necessário que a diferença de velocidades satisfa: