Dois carros, A e B, movem-se no mesmo sentido, com velocidades vA e vB, respectivamente. Quando o carro A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no freio, o que causa uma desaceleração constante a. Demostre que, para não haver colisão entre A e B, é necessário que vA-vB>raiz2 a d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Aqui a gente tem dois carros, o A e o B, indo na mesma direção. O A está atrás do B numa distância d e tem uma velocidade vA, enquanto o B vai mais devagar com velocidade vB. Quando o A pisa no freio, ele desacelera de forma constante com uma taxa a. Nosso objetivo é mostrar que, pra não rolar uma batida entre eles, a diferença de velocidade entre os dois ( vA - vB) precisa ser maior que raiz2 a d. Vamos usar um pouco de física e matemática, mas de um jeito bem tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada carro se move depois que o A freia. O carro B continua na velocidade constante vB. Já o carro A está desacelerando, então sua velocidade muda com o tempo. A gente pode usar as equações de movimento para descrever isso.
Para o carro A, a posição dele em função do tempo é:
xA(t) = xA0 + vA t - 12 a t^2
Onde xA0 é a posição inicial do A.
Para o carro B, como ele não está acelerando, a posição é:
xB(t) = xB0 + vB t
Como o A está atrás do B na distância d, temos que xA0 = xB0 - d.

Passo 3

A gente quer garantir que o carro A nunca ultrapasse o carro B, ou seja, xA(t) <= xB(t) para todo t >= 0. Vamos substituir as expressões de xA(t) e xB(t):
xB0 - d + vA t - 12 a t^2 <= xB0 + vB t
Podemos simplificar cancelando xB0 dos dois lados:
- d + vA t - 12 a t^2 <= vB t

Passo 4

Vamos reorganizar essa inequação para facilitar:
vA t - vB t - 12 a t^2 <= d
Fatorando t:
(vA - vB) t - 12 a t^2 <= d
Essa inequação nos diz que a diferença de velocidade multiplicada pelo tempo menos a desaceleração multiplicada pelo tempo ao quadrado deve ser menor ou igual a d. Para garantir que isso seja verdade para todo t, precisamos que a expressão quadrática -12 a t^2 + (vA - vB) t - d nunca seja positiva.
Para isso, o discriminante dessa equação quadrática deve ser menor ou igual a zero:
(vA - vB)^2 - 2 a d <= 0
Simplificando:
vA - vB <= raiz2 a d
Mas como queremos garantir que não haja colisão, a diferença de velocidade deve ser maior que isso. Então invertendo a inequação:
vA - vB > raiz2 a d

Resposta

Para evitar uma colisão entre os carros A e B, é necessário que a diferença de velocidades satisfa:
vA - vB > raiz2 a d

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