Seja o estado de deformações em um ponto:
[varepsilon]=[ll 200 & 0 0 & -100 ] mu m / m
obtenha o campo de deslocamentos correspondente sabendo que o componente está impedido de se deslocar rigidamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estado de deformações em um ponto específico, representado pela matriz de deformações . Nosso objetivo aqui é encontrar o campo de deslocamentos correspondente a essa deformação, sabendo que o componente está impedido de se deslocar rigidamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente sobre como relacionar deformações e deslocamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz de deformações [varepsilon]=[ll 200 & 0 0 & -100 ] mu m / m . Ela nos mostra como cada ponto do material está deformando em relação ao ponto original. No nosso caso, a matriz é:
Isso significa que na direção x, a deformação é de (ou seja, alongamento), e na direção y, é de (ou seja, compressão). Não há deformação de cisalhamento, já que os elementos fora da diagonal são zero.

Passo 3

Agora, para encontrar o campo de deslocamentos varepsilonij = 12 ( partial uipartial xj + partial ujpartial xi ) , precisamos integrar as deformações. A relação entre deformação e deslocamento é dada por:
Para simplificar, como não há deformação de cisalhamento, podemos separar as equações para e .

Passo 4

Vamos começar com a deformação na direção x:
varepsilonxx = partial uxpartial x = 200 , mum/m
Integrando isso em relação a x, temos:
ux = 200x + C(y)
Aqui, é uma função que pode depender de y.

Passo 5

Agora, vamos analisar a deformação na direção y:
varepsilonyy = partial uypartial y = -100 , mum/m
Integrando isso em relação a y, obtemos:
uy = -100y + D(x)
Onde é uma função que pode depender de x.

Passo 6

Como não há deformação de cisalhamento, ou seja, partial uxpartial y = partial uypartial x , podemos usar isso para relacionar as funções partialpartial y (200x + C(y)) = partialpartial x (-100y + D(x)) e C'(y) = D'(x) .
A condição de cisalhamento nos dá:
C(y) = C0 D(x) = D0
Substituindo e :
Isso simplifica para:
Como a derivada depende apenas de y no lado esquerdo e apenas de x no direito, a única solução possível é que ambas as derivadas sejam constantes iguais a zero. Portanto:

Passo 7

Agora, vamos considerar a condição de que o componente está impedido de se deslocar rigidamente. Isso significa que não pode haver deslocamento constante, ou seja, C(y) = 0 D(x) = 0 e .
Portanto, as funções ficam:

Passo 8

Finalmente, substituindo ux = 200x uy = -100y e de volta nas expressões de e , temos:

Resposta

O campo de deslocamentos é dado por:
u = ( 200x, -100y ) , mum

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