Seja o estado de deformações em um ponto:
obtenha o campo de deslocamentos correspondente sabendo que o componente está impedido de se deslocar rigidamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um estado de deformações em um ponto específico, representado pela matriz de deformações
. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo de deslocamentos correspondente a essa deformação, sabendo que o componente está impedido de se deslocar rigidamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente sobre como relacionar deformações e deslocamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a matriz de deformações
. Ela nos mostra como cada ponto do material está deformando em relação ao ponto original. No nosso caso, a matriz é:
Isso significa que na direção x, a deformação é de
(ou seja, alongamento), e na direção y, é de
(ou seja, compressão). Não há deformação de cisalhamento, já que os elementos fora da diagonal são zero.
Passo 3
Agora, para encontrar o campo de deslocamentos
, precisamos integrar as deformações. A relação entre deformação e deslocamento é dada por:
Para simplificar, como não há deformação de cisalhamento, podemos separar as equações para
e
.
Passo 4
Vamos começar com a deformação na direção x:
Integrando isso em relação a x, temos:
Aqui,
é uma função que pode depender de y.
Passo 5
Agora, vamos analisar a deformação na direção y:
Integrando isso em relação a y, obtemos:
Onde
é uma função que pode depender de x.
Passo 6
Como não há deformação de cisalhamento, ou seja,
, podemos usar isso para relacionar as funções
e
.
A condição de cisalhamento nos dá:
Substituindo
e
:
Isso simplifica para:
Como a derivada depende apenas de y no lado esquerdo e apenas de x no direito, a única solução possível é que ambas as derivadas sejam constantes iguais a zero. Portanto:
Passo 7
Agora, vamos considerar a condição de que o componente está impedido de se deslocar rigidamente. Isso significa que não pode haver deslocamento constante, ou seja,
e
.
Portanto, as funções ficam:
Passo 8
Finalmente, substituindo
e
de volta nas expressões de
e
, temos:
Resposta
O campo de deslocamentos é dado por: