Um engenheiro mediu as deformações em um ponto de uma máquina e obteve
[varepsilon]=[ll 200 & 240 240 & -120 ] mu m / m
Com o auxílio do círculo de Mohr, determine as deformações principais e a máxima deformação cisalhante neste ponto.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Um engenheiro mediu as deformações em um ponto de uma máquina e obteve a seguinte matriz de deformações:
[varepsilon]=[ll 200 & 240 240 & -120 ] mu m / m
O que a questão quer é que a gente, usando o círculo de Mohr, encontre as deformações principais e a máxima deformação cisalhante nesse ponto. Para fazer isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensor de deformação, círculo de Mohr e como calcular as deformações principais e a cisalhante máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da matriz de deformação. A matriz dada é:
[varepsilon]=[ll varepsilonxx & varepsilonxy varepsilonyx & varepsilonyy ]=[ll 200 & 240 240 & -120 ] mu m / m
Aqui:
  • varepsilonxx = 200 , mu m/m
  • varepsilonyy = -120 , mu m/m
  • varepsilonxy = varepsilonyx = 240 , mu m/m

Passo 3

Para encontrar as deformações principais, vamos usar as fórmulas que envolvem os termos da matriz de deformação. As deformações principais ( varepsilon1 e varepsilon2) podem ser encontradas calculando os autovalores da matriz de deformação.
A fórmula para as deformações principais é:
varepsilon1,2 = varepsilonxx + varepsilonyy2 pm raiz(varepsilonxx - varepsilonyy2)^2 + varepsilonxy^2
Vamos calcular cada parte:
  1. Média das deformações:
varepsilonxx + varepsilonyy2 = 200 + (-120)2 = 802 = 40 , mu m/m
  1. Diferença das deformações dividida por 2:
varepsilonxx - varepsilonyy2 = 200 - (-120)2 = 3202 = 160 , mu m/m
  1. Quadrado das deformações cisalhantes:
varepsilonxy = 240 , mu m/m varepsilonxy^2 = 240^2 = 57,600 , (mu m/m)^2
  1. Dentro da raiz quadrada:
(varepsilonxx - varepsilonyy2)^2 + varepsilonxy^2 = 160^2 + 240^2 = 25,600 + 57,600 = 83,200 , (mu m/m)^2
  1. Raiz quadrada:
raiz83,200 approx 288 , mu m/m
Agora, aplicamos na fórmula das deformações principais:
varepsilon1 = 40 + 288 = 328 , mu m/m varepsilon2 = 40 - 288 = -248 , mu m/m

Passo 4

A máxima deformação cisalhante ( gammamax) é a metade da diferença entre as deformações principais:
gammamax = varepsilon1 - varepsilon22 = 328 - (-248)2 = 5762 = 288 , mu m/m

Resposta

As deformações principais são varepsilon1 = 328 , mu m/m e varepsilon2 = -248 , mu m/m. A máxima deformação cisalhante neste ponto é gammamax = 288 , mu m/m.

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