Dados os seguintes deslocamentos para um estado plano de deformações
calcule o tensor deformação , as direções principais e as deformações principais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá alguns deslocamentos em um estado plano de deformações e pede para calcular o tensor de deformação , as direções principais e as deformações principais.
Para isso, vamos precisar entender como derivar o tensor de deformação a partir dos deslocamentos fornecidos. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e álgebra linear para encontrar as direções principais e as deformações principais. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um dos deslocamentos fornecidos para trabalhar. Vamos pegar o terceiro deslocamento:
Aqui, tem duas componentes: mm e mm.
Passo 3
O próximo passo é calcular as derivadas parciais dos deslocamentos em relação às coordenadas espaciais e . Essas derivadas vão nos ajudar a montar o tensor de deformação.
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos montar o tensor de deformação . Para um estado plano, o tensor de deformação é dado por:
Substituindo as derivadas que calculamos:
[varepsilon] = 0 & 12(3 times 10^-2 + (-7 times 10^-2)) 12(3 times 10^-2 + (-7 times 10^-2)) & 0 = 0 & 12(-4 times 10^-2) 12(-4 times 10^-2) & 0 = 0 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & 0
Passo 5
Agora que temos o tensor de deformação, vamos encontrar as direções principais e as deformaç��es principais. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores do tensor [varepsilon].
Primeiro, encontramos os autovalores lambda resolvendo a equação característica:
det([varepsilon] - lambda I) = 0
Para nosso tensor:
det( -lambda & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & -lambda ) = (-lambda)^2 - (-2 times 10^-2)^2 = lambda^2 - 4 times 10^-4 = 0
Resolvendo para lambda:
lambda^2 = 4 times 10^-4 lambda = pm 2 times 10^-2
Então, as deformações principais são 2 times 10^-2 e -2 times 10^-2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para determinar as direções principais.
Para lambda = 2 times 10^-2:
-2 times 10^-2 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & -2 times 10^-2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a relação v1 = -v2. Podemos escolher v = 1 -1.
Para lambda = -2 times 10^-2:
2 times 10^-2 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & 2 times 10^-2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a relação v1 = v2. Podemos escolher v = 1 1.
Resposta
O tensor de deformação [varepsilon] é:
[varepsilon] = 0 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & 0
As direções principais são nas direções dos vetores 1 -1 e 1 1.
As deformações principais são 2 times 10^-2 e -2 times 10^-2.