Dados os seguintes deslocamentos para um estado plano de deformações
& d=ll x y & y^2 ^T times 10^-2 m, & d=x^2+53 y x^2^T times 10^-2 mm, & d=ll 3 y & -7 x ^T times 10^-2 mm, & d=x^2+2 y^2 sin y^T times 10^-2 mm,
calcule o tensor deformação [varepsilon], as direções principais e as deformações principais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá alguns deslocamentos em um estado plano de deformações e pede para calcular o tensor de deformação [varepsilon], as direções principais e as deformações principais.
Para isso, vamos precisar entender como derivar o tensor de deformação a partir dos deslocamentos fornecidos. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e álgebra linear para encontrar as direções principais e as deformações principais. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um dos deslocamentos fornecidos para trabalhar. Vamos pegar o terceiro deslocamento:
d=ll 3 y -7 x ^T times 10^-2 mm
Aqui, d tem duas componentes: dx = 3y times 10^-2 mm e dy = -7x times 10^-2 mm.

Passo 3

O próximo passo é calcular as derivadas parciais dos deslocamentos em relação às coordenadas espaciais x e y. Essas derivadas vão nos ajudar a montar o tensor de deformação.
Vamos calcular:
partial dxpartial x = partialpartial x(3y times 10^-2) = 0
partial dxpartial y = partialpartial y(3y times 10^-2) = 3 times 10^-2
partial dypartial x = partialpartial x(-7x times 10^-2) = -7 times 10^-2
partial dypartial y = partialpartial y(-7x times 10^-2) = 0

Passo 4

Agora, vamos montar o tensor de deformação [varepsilon]. Para um estado plano, o tensor de deformação é dado por:
[varepsilon] = partial dxpartial x & 12(partial dxpartial y + partial dypartial x) 12(partial dxpartial y + partial dypartial x) & partial dypartial y
Substituindo as derivadas que calculamos:
[varepsilon] = 0 & 12(3 times 10^-2 + (-7 times 10^-2)) 12(3 times 10^-2 + (-7 times 10^-2)) & 0 = 0 & 12(-4 times 10^-2) 12(-4 times 10^-2) & 0 = 0 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & 0

Passo 5

Agora que temos o tensor de deformação, vamos encontrar as direções principais e as deformaç��es principais. Para isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores do tensor [varepsilon].
Primeiro, encontramos os autovalores lambda resolvendo a equação característica:
det([varepsilon] - lambda I) = 0
Para nosso tensor:
det( -lambda & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & -lambda ) = (-lambda)^2 - (-2 times 10^-2)^2 = lambda^2 - 4 times 10^-4 = 0
Resolvendo para lambda:
lambda^2 = 4 times 10^-4 lambda = pm 2 times 10^-2
Então, as deformações principais são 2 times 10^-2 e -2 times 10^-2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para determinar as direções principais.
Para lambda = 2 times 10^-2:
-2 times 10^-2 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & -2 times 10^-2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a relação v1 = -v2. Podemos escolher v = 1 -1.
Para lambda = -2 times 10^-2:
2 times 10^-2 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & 2 times 10^-2 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a relação v1 = v2. Podemos escolher v = 1 1.

Resposta

O tensor de deformação [varepsilon] é:
[varepsilon] = 0 & -2 times 10^-2 -2 times 10^-2 & 0
As direções principais são nas direções dos vetores 1 -1 e 1 1.
As deformações principais são 2 times 10^-2 e -2 times 10^-2.

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