Um ensaio triaxial com uma amostra de argila, forneceu os seguintes resultados: sigma1=1000 kPa, sigma3=200 kPa e ângulo de inclinação do plano de ruptura: 60^circ com a horizontal. Determine pelo diagrama de Mohr, as tensões normal, de cisalhamento e a resultante, o ângulo de atrito interno e a coesão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um ensaio triaxial com uma amostra de argila onde foram medidas as tensões principais sigma1=1000 kPa e sigma3=200 kPa. Além disso, sabemos que o plano de ruptura faz um ângulo de 60^circ com a horizontal. Nosso objetivo é, usando o diagrama de Mohr, encontrar:
  • Tensões normal ( sigman) e de cisalhamento ( tau) no plano de ruptura.
  • A resultante dessas tensões.
  • O ângulo de atrito interno ( phi).
  • A coesão ( c) do material.
Para isso, vamos precisar entender como funciona o diagrama de Mohr e como aplicá-lo para resolver problemas de tensões em materiais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diagrama de Mohr. Ele é uma representação gráfica que nos ajuda a visualizar as tensões atuantes em um ponto de um material. No caso de um ensaio triaxial, temos duas tensões principais: sigma1 (maior) e sigma3 (menor).
No diagrama de Mohr:
  • O eixo horizontal representa a tensão normal ( sigma).
  • O eixo vertical representa a tensão de cisalhamento ( tau).
Vamos começar plotando as tensões principais no diagrama.

Passo 3

Para plotar as tensões principais no diagrama de Mohr:
  1. Primeiro ponto: (sigma1, 0) = (1000, 0) kPa.
  2. Segundo ponto: (sigma3, 0) = (200, 0) kPa.
Esses pontos estão no eixo horizontal porque as tensões principais não têm componente de cisalhamento associada a elas.

Passo 4

Agora, vamos desenhar o círculo de Mohr. A ideia é que qualquer plano que não seja uma direção principal terá suas próprias tensões normal e de cisalhamento, que podem ser determinadas a partir desse círculo.
Para desenhar o círculo:
  1. Calculamos o centro do círculo: C = sigma1 + sigma32 = 1000 + 2002 = 600 kPa
  2. Calculamos o raio do círculo: R = sigma1 - sigma32 = 1000 - 2002 = 400 kPa
Com isso, desenhamos um círculo com centro em (600, 0) e raio 400 kPa.

Passo 5

Agora, vamos considerar o plano de ruptura que faz um ângulo de 60^circ com a horizontal. No diagrama de Mohr, esse ângulo se relaciona com o ângulo interno do círculo.
Lembre-se que, no diagrama de Mohr, os ângulos são duplicados. Ou seja, um plano que faz um ângulo theta com a horizontal no espaço físico corresponde a um ângulo 2theta no diagrama de Mohr. Assim:
2theta = 2 times 60^circ = 120^circ
Isso significa que o plano de ruptura está a 120^circ no diagrama de Mohr a partir da linha horizontal.

Passo 6

Vamos determinar as tensões normal e de cisalhamento no plano de ruptura usando o diagrama de Mohr.
  1. A tensão normal ( sigman) no plano é a coordenada horizontal do ponto no diagrama correspondente ao ângulo de 120^circ.
  2. A tensão de cisalhamento ( tau) é a coordenada vertical nesse ponto.
Usando as fórmulas do diagrama de Mohr:
sigman = C + R cos(2theta) = 600 + 400 cos(120^circ)
tau = R sin(2theta) = 400 sin(120^circ)
Calculando:
cos(120^circ) = -0.5 Rightarrow sigman = 600 + 400 times (-0.5) = 600 - 200 = 400 kPa
sin(120^circ) = raiz32 approx 0.866 Rightarrow tau = 400 times 0.866 approx 346.4 kPa

Passo 7

Agora, vamos encontrar a resultante das tensões no plano de ruptura. A resultante é a combinação da tensão normal e da tensão de cisalhamento.
Usamos o teorema de Pitágoras para isso:
Resu
Calculando:
raiz160000 + 119,800 approx raiz279,800 approx 529 kPa

Passo 8

Para determinar o ângulo de atrito interno ( phi) e a coesão ( c), usamos a condição de falha de Mohr-Coulomb, que é uma equação linear no diagrama de Mohr.
A equação de Mohr-Coulomb é:
tau = c + sigma tan(phi)
Nós temos dois pontos no círculo de Mohr (as tensões principais) e o ponto de falha (no ângulo de 120^circ). Podemos usar esses pontos para encontrar c e phi.
Substituindo os pontos principais:
  1. Para (sigma1, 0):
    0 = c + sigma1 tan(phi) Rightarrow c = -sigma1 tan(phi)
  2. Para (sigma3, 0):
    0 = c + sigma3 tan(phi) Rightarrow c = -sigma3 tan(phi)
Igualando as duas expressões para c:
-sigma1 tan(phi) = -sigma3 tan(phi) Rightarrow sigma1 = sigma3
Mas isso não faz sentido, já que sigma1 neq sigma3. Isso indica que precisamos usar o ponto de falha para encontrar uma relação entre c e phi.
Vamos usar o ponto de falha (400, 346.4):
346.4 = c + 400 tan(phi)
E dos pontos principais, sabemos que no diagrama de Mohr, a tangente do ângulo de atrito interno é relacionada ao ângulo do círculo. Porém, nesse contexto, vamos assumir que a principal relação a ser usada é a de?
Na verdade, para encontrar phi e c, precisamos de mais informações ou de outro método, já que com apenas um ponto de falha e as duas tensões principais, não conseguimos determinar ambos os parâmetros de forma independente. Normalmente, são necessárias mais informações ou simplificações adicionais.

Resposta

Após a análise, determinamos que no plano de ruptura o plano sofre uma tensão normal de 400, kPa e uma tensão de cisalhamento de aproximadamente 346.4, kPa. A resultante dessas tensões é de cerca de 529, kPa. Para encontrar o ângulo de atrito interno e a coesão, seria necessário mais informações ou métodos adicionais, pois com os dados fornecidos não é possível determinar ambos de forma independente.

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