A estrutura de uma máquina é feita de um aço com sigma esc =400 MPa e tau esc =250 MPa. Após a realização de testes de laboratório, verificou-se que as tensões variam linearmente com a carga. Dois pontos das estrutura se revelaram mais críticos. Com uma carga de teste de 4000 N , as tensões nestes pontos são: (ponto a) sigma1=200 MPa ; sigma2=100 MPa e (ponto b) sigma1=150 MPa ; sigma2=-100 MPa. Calcule a carga de teste sob a qual a estrutura sofrerá escoamento utilizando: (a) a teoria da máxima tensão normal, (b) a teoria da máxima tensão cisalhante e © a teoria da máxima energia de distorção. Discuta a validade de cada teoria para este caso. Considerando as informações dadas, qual a sua opinião sobre qual das três teorias fornecerá a carga de teste que realmente provocará o início do escoamento ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma estrutura de aço sujeita a algumas tensões e queremos descobrir qual carga vai fazer ela começar a escoar, ou seja, sofrer deformação permanente. Vamos usar três teorias diferentes para isso: a teoria da máxima tensão normal, a teoria da máxima tensão cisalhante e a teoria da máxima energia de distorção. Para resolver, precisamos entender como cada teoria funciona e aplicar aos pontos críticos da estrutura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada teoria diz:
  1. Teoria da Máxima Tensão Normal: Essa teoria afirma que o escoamento ocorre quando a maior tensão normal em qualquer direção atinge o limite de escoamento do material. Basicamente, se qualquer tensão sigma1^2 - sigma1 sigma2 + sigma2^2 = sigmaesc^2 superar , o material começa a escoar.
  2. Teoria da Máxima Tensão Cisalhante: Aqui, o escoamento acontece quando a maior tensão de cisalhamento atinge . A tensão de cisalhamento pode ser calculada como .
  3. Teoria da Máxima Energia de Distorção (ou Critério de Von Mises): Essa teoria considera uma combinação das tensões para determinar o escoamento. A condição de escoamento é dada por:
Vamos aplicar cada uma dessas teorias aos pontos críticos da estrutura.

Passo 3

a) Teoria da Máxima Tensão Normal
Nessa teoria, a estrutura começa a escoar quando qualquer uma das tensões normais em um ponto atinge o limite de escoamento do material. Vamos analisar os dois pontos críticos:
  • Ponto a:
    sigma1 = 200, MPa, sigma2 = 100, MPa
    Aqui, a maior tensão é sigma1 = 150, MPa, sigma2 = -100, MPa .
  • Ponto b:
    Carga de escoamento = 4000, N times 400200 = 8000, N
    A maior tensão aqui também é Carga de escoamento = 4000, N times 400150 approx 10666,67, N .
Como a variação das tensões é linear com a carga, podemos encontrar a carga que faz atingir :
Para o Ponto a:
Para o Ponto b:
O menor valor dessas cargas é 8000 N, que é quando o Ponto a atinge o escoamento.

Passo 4

b) Teoria da Máxima Tensão Cisalhante
Aqui, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima em cada ponto e ver quando ela atinge tau = sigma1 - sigma22 .
A fórmula é:
taua = 200 - 1002 = 50, MPa
Calculando para os dois pontos:
  • Ponto a:
    taub = 150 - (-100)2 = 125, MPa
  • Ponto b:
    Carga de escoamento = 4000, N times 25050 = 20000, N
Agora, encontramos a carga que faz Carga de escoamento = 4000, N times 250125 = 8000, N atingir :
Para o Ponto a:
Para o Ponto b:
O menor valor é 8000 N, que ocorre no Ponto b.

Passo 5

c) Teoria da Máxima Energia de Distorção (Critério de Von Mises)
Vamos aplicar a fórmula do critério de Von Mises para cada ponto:
sigma1^2 - sigma1 sigma2 + sigma2^2 = sigmaesc^2
Resolvendo para a carga:
Para o Ponto a:
(200)^2 - (200)(100) + (100)^2 = 40000 - 20000 + 10000 = 30000, MPa^2
400^2 = 160000, MPa^2
Fator de carga = raiz16000030000 approx 2,309
Carga de escoamento = 4000, N times 2,309 approx 9236, N
Para o Ponto b:
(150)^2 - (150)(-100) + (-100)^2 = 22500 + 15000 + 10000 = 47500, MPa^2
Fator de carga = raiz16000047500 approx 1,798
Carga de escoamento = 4000, N times 1,798 approx 7192, N
O menor valor é aproximadamente 7192 N, quando o Ponto b atinge o escoamento segundo o critério de Von Mises.

Passo 6

Discussão das Teorias
  • Máxima Tensão Normal: Simples de aplicar, mas pode superestimar a resistência, já que não considera as tensões de cisalhamento.
  • Máxima Tensão Cisalhante: Considera as tensões de cisalhamento, mas pode subestimar a resistência em alguns casos.
  • Máxima Energia de Distorção (Von Mises): Geralmente mais precisa porque considera uma combinação das tensões, refletindo melhor o comportamento real do material sob diferentes estados de tensão.

Passo 7

Qual Teoria é Mais Valida?
Considerando que as tensões variam linearmente com a carga e que o critério de Von Mises leva em conta a combinação das tensões normais e de cisalhamento, ele geralmente fornece uma estimativa mais realista da carga que realmente provocará o início do escoamento. Portanto, a teoria da máxima energia de distorção é a mais adequada para este caso.

Resposta

A carga de teste que realmente provocará o início do escoamento na estrutura é aproximadamente 7192 N, segundo a teoria da máxima energia de distorção.

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