A estrutura de uma máquina é feita de um aço com
e
. Após a realização de testes de laboratório, verificou-se que as tensões variam linearmente com a carga. Dois pontos das estrutura se revelaram mais críticos. Com uma carga de teste de 4000 N , as tensões nestes pontos são: (ponto a)
e (ponto b)
. Calcule a carga de teste sob a qual a estrutura sofrerá escoamento utilizando: (a) a teoria da máxima tensão normal, (b) a teoria da máxima tensão cisalhante e © a teoria da máxima energia de distorção. Discuta a validade de cada teoria para este caso. Considerando as informações dadas, qual a sua opinião sobre qual das três teorias fornecerá a carga de teste que realmente provocará o início do escoamento ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma estrutura de aço sujeita a algumas tensões e queremos descobrir qual carga vai fazer ela começar a escoar, ou seja, sofrer deformação permanente. Vamos usar três teorias diferentes para isso: a teoria da máxima tensão normal, a teoria da máxima tensão cisalhante e a teoria da máxima energia de distorção. Para resolver, precisamos entender como cada teoria funciona e aplicar aos pontos críticos da estrutura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada teoria diz:
-
Teoria da Máxima Tensão Normal: Essa teoria afirma que o escoamento ocorre quando a maior tensão normal em qualquer direção atinge o limite de escoamento do material. Basicamente, se qualquer tensão
superar , o material começa a escoar. -
Teoria da Máxima Tensão Cisalhante: Aqui, o escoamento acontece quando a maior tensão de cisalhamento atinge
. A tensão de cisalhamento pode ser calculada como . -
Teoria da Máxima Energia de Distorção (ou Critério de Von Mises): Essa teoria considera uma combinação das tensões para determinar o escoamento. A condição de escoamento é dada por:
Vamos aplicar cada uma dessas teorias aos pontos críticos da estrutura.
Passo 3
a) Teoria da Máxima Tensão Normal
Nessa teoria, a estrutura começa a escoar quando qualquer uma das tensões normais em um ponto atinge o limite de escoamento do material. Vamos analisar os dois pontos críticos:
-
Ponto a:Aqui, a maior tensão é
. -
Ponto b:A maior tensão aqui também é
.
Como a variação das tensões é linear com a carga, podemos encontrar a carga que faz
atingir
:
Para o Ponto a:
Para o Ponto b:
O menor valor dessas cargas é 8000 N, que é quando o Ponto a atinge o escoamento.
Passo 4
b) Teoria da Máxima Tensão Cisalhante
Aqui, vamos calcular a tensão de cisalhamento máxima em cada ponto e ver quando ela atinge
.
A fórmula é:
Calculando para os dois pontos:
-
Ponto a:
-
Ponto b:
Agora, encontramos a carga que faz
atingir
:
Para o Ponto a:
Para o Ponto b:
O menor valor é 8000 N, que ocorre no Ponto b.
Passo 5
c) Teoria da Máxima Energia de Distorção (Critério de Von Mises)
Vamos aplicar a fórmula do critério de Von Mises para cada ponto:
Resolvendo para a carga:
Para o Ponto a:
Para o Ponto b:
O menor valor é aproximadamente 7192 N, quando o Ponto b atinge o escoamento segundo o critério de Von Mises.
Passo 6
Discussão das Teorias
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Máxima Tensão Normal: Simples de aplicar, mas pode superestimar a resistência, já que não considera as tensões de cisalhamento.
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Máxima Tensão Cisalhante: Considera as tensões de cisalhamento, mas pode subestimar a resistência em alguns casos.
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Máxima Energia de Distorção (Von Mises): Geralmente mais precisa porque considera uma combinação das tensões, refletindo melhor o comportamento real do material sob diferentes estados de tensão.
Passo 7
Qual Teoria é Mais Valida?
Considerando que as tensões variam linearmente com a carga e que o critério de Von Mises leva em conta a combinação das tensões normais e de cisalhamento, ele geralmente fornece uma estimativa mais realista da carga que realmente provocará o início do escoamento. Portanto, a teoria da máxima energia de distorção é a mais adequada para este caso.
Resposta
A carga de teste que realmente provocará o início do escoamento na estrutura é aproximadamente 7192 N, segundo a teoria da máxima energia de distorção.