Um componente mecânico possui um ponto crítico com sigma1=137 MPa ; sigma2=-103 MPa e sigma3=0. O material é dúctil, com tensão de escoamento de 411 MPa tanto à tração quanto à compressão. Calcule o coeficiente de segurança segundo a: (a) teoria da máxima tensão normal, (b) teoria da máxima tensão cisalhante e © teoria da máxima energia de distorção. Qual a teoria que deverá fornecer o valor mais próximo de um teste real ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de resistência dos materiais juntos! O enunciado fala sobre um componente mecânico com certos valores de tensões principais e pede para calcular o coeficiente de segurança usando três teorias diferentes: máxima tensão normal, máxima tensão cisalhante e máxima energia de distorção. Para isso, vamos precisar entender essas teorias e como aplicá-las com os valores que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de segurança. Basicamente, ele nos diz o quanto um material pode suportar além das tensões que está realmente sofrendo antes de falhar. É calculado dividindo a tensão de escoamento do material pela tensão aplicada segundo a teoria escolhida.

Passo 3

Vamos começar pela Teoria da Máxima Tensão Normal. Essa teoria diz que a falha ocorre quando a maior tensão normal no material alcança a tensão de escoamento.
A fórmula para o coeficiente de segurança (N) nessa teoria é:
N = sigmaescoamentosigmamáxima á
Onde:
  • á

Passo 4

Agora, vamos calcular:
N = 411137 approx 3,00
Então, o coeficiente de segurança segundo a teoria da máxima tensão normal é aproximadamente 3,00.

Passo 5

Next, vamos para a Teoria da Máxima Tensão Cisalhante, também conhecida como Teoria de Tresca. Essa teoria afirma que a falha ocorre quando a máxima tensão cisalhante no material atinge a tensão de escoamento.
A fórmula para o coeficiente de segurança nessa teoria é:
N = sigmaescoamentotaumáxima á
Onde taumáxima = sigma1 - sigma22 á é a máxima tensão cisalhante. Primeiro, precisamos calcular taumáxima = 137 - (-103)2 = 2402 = 120 , MPa á.
A máxima tensão cisalhante é dada por:
á
Substituindo os valores:
á

Passo 6

Agora, calculamos o coeficiente de segurança:
N = 411120 approx 3,43
Então, segundo a teoria da máxima tensão cisalhante, o coeficiente de segurança é aproximadamente 3,43.

Passo 7

Por último, vamos aplicar a Teoria da Máxima Energia de Distorção, também conhecida como Teoria de von Mises. Essa teoria considera que a falha ocorre quando a energia de distorção atinge a energia de escoamento.
A fórmula para o coeficiente de segurança nessa teoria é:
N = sigmaescoamentosigmavon , Mises
Primeiro, precisamos calcular a tensão de von Mises ( sigmavM = raiz (sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^22 ) usando a seguinte fórmula:
sigmavM = raiz (137 - (-103))^2 + (-103 - 0)^2 + (0 - 137)^22 = raiz (240)^2 + (-103)^2 + (-137)^22
Substituindo os valores:
240^2 = 57600, (-103)^2 = 10609, (-137)^2 = 18769
Calculando cada parte:
sigmavM = raiz 57600 + 10609 + 187692 = raiz 869782 = raiz43489 approx 208,4 , MPa
Então:

Passo 8

Agora, calculamos o coeficiente de segurança:
N = 411208,4 approx 1,97
Portanto, segundo a teoria da máxima energia de distorção, o coeficiente de segurança é aproximadamente 1,97.

Resposta

O coeficiente de segurança calculado é:
  • (a) Teoria da Máxima Tensão Normal: 3,00
  • (b) Teoria da Máxima Tensão Cisalhante: 3,43
  • © Teoria da Máxima Energia de Distorção: 1,97
Dentre as teorias, a Teoria da Máxima Energia de Distorção (von Mises) geralmente fornece valores mais próximos aos testes reais para materiais dúcteis.

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