Um material com estrutura cúbica de corpo centrado (BCC) apresenta picos de difração a 2 theta=30.0^circ, 43.5^circ, 53.0^circ, e 74.0^circ. Usando um comprimento de onda de raio-X de 1.54 AA A, indexe os picos (determine os planos ( hkl )) e calcule o parâmetro de rede (a) do material.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos um material com estrutura cúbica de corpo centrado (BCC) que mostrou alguns picos de difração de raios-X em ângulos específicos. Nosso objetivo é:
  1. Indexar os picos: Ou seja, identificar quais planos cristalinos (hkl) correspondem a cada pico observado.
  2. Calcular o parâmetro de rede (a): Que é basicamente o tamanho da célula unitária do cristal.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Bragg para difração de raios-X e as características da estrutura BCC.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Bragg, que nos ajuda a relacionar o ângulo de difração com o espaçamento entre os planos cristalinos. A fórmula é:
nlambda = 2d sin theta
Onde:
  • n é a ordem da difração (geralmente tomamos n=1 para a primeira ordem),
  • lambda é o comprimento de onda dos raios-X,
  • d é o espaçamento entre os planos,
  • theta é metade do ângulo de difração ( 2theta é o valor dado na questão).
Como nosso lambda é 1.54 , AA, vamos usar isso para encontrar d para cada pico.

Passo 3

Vamos calcular o espaçamento d para cada ângulo usando a Lei de Bragg rearranjada:
d = nlambda2 sin theta
Vamos fazer isso para cada pico:
  1. Para 2theta = 30.0^circ:
    theta = 15.0^circ
    d = 1 times 1.542 times sin 15.0^circ approx 1.542 times 0.2588 approx 1.540.5176 approx 2.98 , AA
  2. Para 2theta = 43.5^circ:
    theta = 21.75^circ
    d = 1.542 times sin 21.75^circ approx 1.542 times 0.3717 approx 1.540.7434 approx 2.07 , AA
  3. Para 2theta = 53.0^circ:
    theta = 26.5^circ
    d = 1.542 times sin 26.5^circ approx 1.542 times 0.4472 approx 1.540.8944 approx 1.72 , AA
  4. Para 2theta = 74.0^circ:
    theta = 37.0^circ
    d = 1.542 times sin 37.0^circ approx 1.542 times 0.6018 approx 1.541.2036 approx 1.28 , AA

Passo 4

Agora que temos os espaçamentos d para cada pico, vamos relacionar isso com a estrutura BCC. Para uma estrutura cúbica de corpo centrado, a relação entre o espaçamento dhkl e o parâmetro de rede a é:
dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2
Além disso, nos picos de difração vão corresponder aos índices de Miller (hkl) que satisfazem a relação h + k + l sendo ímpar para BCC.
Vamos usar estas informações para identificar os (hkl) e depois calcular a.

Passo 5

Vamos listar as possíveis combinações de (hkl) para BCC, onde h + k + l é ímpar:
  1. (110)
  2. (200)
  3. (211)
  4. (220)
  5. (310)
  6. (222)
  7. E assim por diante…
Vamos calcular raizh^2 + k^2 + l^2 para cada (hkl) e depois encontrar o d teórico, comparando com os d que calculamos.
  1. Para (110):
    raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2 approx 1.414
    d110 = a1.414
  2. Para (200):
    raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = 2
    d200 = a2
  3. Para (211):
    raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz6 approx 2.449
    d211 = a2.449
  4. Para (220):
    raiz2^2 + 2^2 + 0^2 = raiz8 approx 2.828
    d220 = a2.828

Passo 6

Agora, vamos relacionar os d calculados experimentalmente com os teóricos para identificar os (hkl) e descobrir o parâmetro de rede a.
Vamos organizar os valores:
2theta d (Å) (hkl) possível Fórmula de dhkl Expressão para a
30° 2.98 (200) d200 = a2 a = d200 times 2 = 5.96 , ÅÅ
43.5° 2.07 (211) d211 = a2.449 a = d211 times 2.449 approx 5.08 , ÅÅ
53° 1.72 (220) d220 = a2.828 a = d220 times 2.828 approx 4.86 , ÅÅ
74° 1.28 - - -
Observamos que os valores de a obtidos não estão exatamente iguais, mas estão próximos. Vamos assumir que o primeiro pico corresponde a (200), o segundo a (211) e o terceiro a (220). Isso nos dará uma média para a.
Calculando a média:
a approx 5.96 + 5.08 + 4.863 approx 15.903 approx 5.30 , Å Å

Resposta

Os picos de difração correspondem aos planos (200), (211) e (220), e o parâmetro de rede do material é aproximadamente a = 5.30 , AA.

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