Um cristal cúbico de face centrada (FCC) mostra picos de difração a 2 theta=38.0^circ, 44.5^circ, 64.7^circ e 77.2^circ. Usando uma radiação de comprimento de onda de 1.54 AA ̊, indexe os picos (determine os planos (hkl)) e calcule o parâmetro de rede (a) do cristal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cristal cúbico de face centrada (FCC) que mostrou picos de difração em certos ângulos. A gente vai precisar usar conceitos de difração de raios X, como a Lei de Bragg, e entender um pouco sobre a estrutura de cristais FCC. Vamos determinar os planos (hkl) que correspondem aos picos e calcular o parâmetro de rede do cristal usando a radiação com comprimento de onda .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Bragg, que relaciona o ângulo de difração nlambda = 2dsintheta , o comprimento de onda , e a distância entre os planos cristalinos :
Aqui, vamos considerar (primeira ordem de difração). Nosso objetivo é encontrar para cada pico de difração.

Passo 3

Vamos calcular theta = 19.0^circ para cada valor de theta = 22.25^circ . Primeiro, dividimos theta = 32.35^circ por 2 para encontrar theta = 38.6^circ :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Bragg para encontrar d = nlambda2sintheta :
d = 1 times 1.542 times sin(19.0^circ) approx 1.542 times 0.32557 approx 1.540.65114 approx 2.366 AA
Vamos calcular d = 1 times 1.542 times sin(22.25^circ) approx 1.542 times 0.37973 approx 1.540.75946 approx 2.029 AA para cada d = 1 times 1.542 times sin(32.35^circ) approx 1.542 times 0.53163 approx 1.541.06326 approx 1.449 AA :
  1. Para d = 1 times 1.542 times sin(38.6^circ) approx 1.542 times 0.62568 approx 1.541.25136 approx 1.231 AA :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 5

Em um cristal cúbico, a distância entre os planos d = araizh^2 + k^2 + l^2 está relacionada ao parâmetro de rede a = d times raizh^2 + k^2 + l^2 e aos índices de Miller pela fórmula:
Rearranjando para encontrar :
Sabendo que em um cristal FCC, os planos permitidos seguem a sequência onde são todos pares ou todos ímpares e que são múltiplos de 4, os valores possíveis são 3, 4, 8, 11, etc.

Passo 6

Vamos associar cada h^2 + k^2 + l^2 = 4 (Assumindo (100)) com os valores possíveis de h^2 + k^2 + l^2 = 8 (Assumindo (110)) :
  1. Para h^2 + k^2 + l^2 = 12 (Assumindo (111)) :
    h^2 + k^2 + l^2 = 16 (Assumindo (200))
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 7

Com os valores de (hkl) = (100) , podemos encontrar os índices (hkl) = (110) correspondentes:
  1. (hkl) = (111) :
    (hkl) = (200)
  2. :
  3. :
  4. :

Passo 8

Agora, vamos calcular o parâmetro de rede a = d times raizh^2 + k^2 + l^2 usando a fórmula:
a = 2.366 times raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 2.366 times 1 = 2.366 AA
Vamos calcular para um dos planos, por exemplo, a = 2.029 times raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = 2.029 times raiz2 approx 2.029 times 1.414 approx 2.869 AA :
a = 1.449 times raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = 1.449 times raiz3 approx 1.449 times 1.732 approx 2.507 AA
Repetindo para os outros planos:
  1. a = 1.231 times raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = 1.231 times 2 = 2.462 AA :
  2. :
  3. :

Passo 9

Como os valores de amédia = 2.366 + 2.869 + 2.507 + 2.4624 = 10.2044 = 2.551 AA obtidos são próximos, podemos calcular uma média para obter um valor mais preciso:
é

Resposta

Os planos que correspondem aos picos de difração são , , e . O parâmetro de rede do cristal é aproximadamente .

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