Um cristal com estrutura cúbica de face centrada (FCC) apresenta picos a 2 theta= ( 36.1^circ, 42.4^circ, e 62.8^circ ). Calcule os planos cristalográficos (hkl) e determine o parâmetro de rede (a) do cristal. Use um comprimento de onda de 1.54 AA.

Passo 1

Beleza, temos um cristal com estrutura cúbica de face centrada (FCC) que está apresentando picos em certos ângulos ( ). Nosso objetivo aqui é descobrir quais são os planos cristalográficos responsáveis por esses picos e também encontrar o parâmetro de rede do cristal. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Bragg e algumas propriedades específicas das estruturas FCC.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Bragg, que relaciona o ângulo de difração ( nlambda = 2dsintheta ), o comprimento de onda da radiação utilizada ( ), e a distância entre os planos cristalográficos ( ). A fórmula é:
Aqui, é a ordem da reflexão, que geralmente consideramos como 1 para a primeira ordem.

Passo 3

Como estamos lidando com um cristal FCC, sabemos que os planos possíveis são aqueles onde todos os , e são ímpares ou pares múltiplos de 2. Isso porque na estrutura FCC, os átomos estão localizados nas posições , , , e .

Passo 4

Vamos calcular a distância entre os planos d = nlambda2sintheta usando a Lei de Bragg rearranjada:
Vamos substituir e os valores de dados para encontrar para cada pico.

Passo 5

Calculando theta = 18.05^circ para cada ângulo:
Para d = 1 times 1.542 times sin(18.05^circ) approx 1.542 times 0.3090 approx 1.540.618 approx 2.49 , AA :
theta = 21.2^circ
d = 1.542 times sin(21.2^circ) approx 1.542 times 0.3624 approx 1.540.7248 approx 2.12 , AA
Para theta = 31.4^circ :
d = 1.542 times sin(31.4^circ) approx 1.542 times 0.5235 approx 1.541.047 approx 1.47 , AA
Para :

Passo 6

Agora, para estruturas cúbicas, a relação entre d = araizh^2 + k^2 + l^2 e os índices de Miller a = d times raizh^2 + k^2 + l^2 é dada por:
Vamos rearranjar para encontrar :

Passo 7

Sabendo que no FCC, os índices possíveis raizh^2 + k^2 + l^2 = raiz3 implies (111) correspondem a raizh^2 + k^2 + l^2 = raiz8 implies (200) iguais a raizh^2 + k^2 + l^2 = raiz11 implies (220) , , , etc., vamos associar cada calculado aos possíveis :
Para :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, vamos usar um dos a = 2.49 times raiz3 approx 2.49 times 1.732 approx 4.31 , AA para encontrar o parâmetro de rede . Usando e :

Resposta

Os planos cristalográficos são , e , e o parâmetro de rede do cristal é aproximadamente .

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