Mostre a obtenção da equação de flexão de vigas segundo a teoria de vigas finas (Eq. 12.8 do livro-texto). Explique cada termo envolvido na dedução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar a equação de flexão de vigas segundo a teoria de vigas finas, que provavelmente é a Eq. 12.8 do seu livro. Isso está relacionado à mecânica dos sólidos e estrutura das vigas. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como momento de inércia, módulo de elasticidade e deflexão da viga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma viga sujeita a uma carga transversal. Segundo a teoria das vigas finas de Euler-Bernoulli, assumimos que as seções transversais da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo neutro após a deformação.

Passo 3

O eixo neutro é onde não ocorre alongamento nem compressão durante a flexão. Para relacionar a força aplicada com a deflexão, precisamos considerar o equilíbrio de momentos na viga.

Passo 4

Vamos relacionar o momento fletor M(x) = -EI d^2ydx^2 com a curvatura da viga. A curva da viga pode ser descrita pela equação:
Aqui, é o módulo de elasticidade do material e é o momento de inércia da seção transversal da viga.

Passo 5

Explicando os termos:
  • : Momento fletor na posição da viga.
  • : Módulo de elasticidade, que mede a rigidez do material.
  • : Momento de inércia, que depende da geometria da seção transversal.
  • : Segunda derivada da deflexão , representando a curvatura da viga.

Passo 6

A equação relaciona como o momento fletor causa a curvatura na viga. O sinal negativo indica que um momento positivo causa uma curvatura para baixo.

Passo 7

Essa é a equação de flexão das vigas segundo a teoria de vigas finas. Ela nos permite calcular a deflexão conhecendo o momento fletor , o módulo de elasticidade e o momento de inércia .

Resposta

A equação de flexão de vigas segundo a teoria de vigas finas é dada por:
M(x) = -EI d^2ydx^2
Onde:
  • é o momento fletor na posição ,
  • é o módulo de elasticidade do material,
  • é o momento de inércia da seção transversal,
  • é a curvatura da viga.

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