Mostre a obtenção da equação de flexão de vigas segundo a teoria de vigas finas (Eq. 12.8 do livro-texto). Explique cada termo envolvido na dedução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar a equação de flexão de vigas segundo a teoria de vigas finas, que provavelmente é a Eq. 12.8 do seu livro. Isso está relacionado à mecânica dos sólidos e estrutura das vigas. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como momento de inércia, módulo de elasticidade e deflexão da viga.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma viga sujeita a uma carga transversal. Segundo a teoria das vigas finas de Euler-Bernoulli, assumimos que as seções transversais da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo neutro após a deformação.
Passo 3
O eixo neutro é onde não ocorre alongamento nem compressão durante a flexão. Para relacionar a força aplicada com a deflexão, precisamos considerar o equilíbrio de momentos na viga.
Passo 4
Vamos relacionar o momento fletor
com a curvatura
da viga. A curva da viga pode ser descrita pela equação:
Aqui,
é o módulo de elasticidade do material e
é o momento de inércia da seção transversal da viga.
Passo 5
Explicando os termos:
-
: Momento fletor na posição da viga. -
: Módulo de elasticidade, que mede a rigidez do material. -
: Momento de inércia, que depende da geometria da seção transversal. -
: Segunda derivada da deflexão , representando a curvatura da viga.
Passo 6
A equação
relaciona como o momento fletor causa a curvatura na viga. O sinal negativo indica que um momento positivo causa uma curvatura para baixo.
Passo 7
Essa é a equação de flexão das vigas segundo a teoria de vigas finas. Ela nos permite calcular a deflexão
conhecendo o momento fletor
, o módulo de elasticidade
e o momento de inércia
.
Resposta
A equação de flexão de vigas segundo a teoria de vigas finas é dada por:
Onde:
-
é o momento fletor na posição , -
é o módulo de elasticidade do material, -
é o momento de inércia da seção transversal, -
é a curvatura da viga.