Seja um problema genérico de tensões/deformações 3D. Obtenha as expressões finais para a densidade de energia de deformação volumétrica (DEDv) - Uv - e para a densidade de energia de deformação distorcional ou desviadora (DEDs) - Us.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um problema genérico de tensões e deformações em 3D. Nosso objetivo é encontrar as expressões finais para duas coisas importantes: a densidade de energia de deformação volumétrica, que chamaremos de , e a densidade de energia de deformação distorcional ou desviadora, que vamos chamar de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a energia de deformação é dividida em partes que envolvem mudanças de volume e mudanças de forma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer deformação em um material pode ser decomposta em duas partes: uma que muda o volume do material (volumétrica) e outra que muda a forma sem alterar o volume (deformação distorcional). Essa decomposição é útil porque permite analisar separadamente os efeitos que cada tipo de deformação tem sobre a energia armazenada no material.

Passo 3

A densidade de energia de deformação ( U = Uv + Us ) total pode ser expressa como a soma das duas componentes:
Aqui, representa a energia associada à mudança de volume, e representa a energia associada à mudança de forma.

Passo 4

Para encontrar epsilonv = tr(epsilon) = epsilonxx + epsilonyy + epsilonzz , consideramos apenas as deformações que afetam o volume. Em termos de tensão e deformação, isso está relacionado à parte escalar da deformação, que é dada pelo traço do tensor de deformação ( ):
A energia volumétrica é então proporcional ao quadrado dessa quantidade, com um fator dependente do módulo de compressibilidade do material.

Passo 5

Matematicamente, a densidade de energia volumétrica pode ser escrita como:
Uv = K2 (tr(epsilon))^2
Onde é o módulo de compressibilidade, que mede a resistência do material à mudança de volume.

Passo 6

Agora, para encontrar epsilon' = epsilon - 13 tr(epsilon) I , a densidade de energia de deformação distorcional, consideramos apenas as deformações que mudam a forma do material sem alterar o volume. Isso está relacionado à parte traceless (sem traço) do tensor de deformação, ou seja, subtraímos a parte volumétrica da deformação total:
Onde é o tensor identidade. A energia distorcional é então proporcional ao quadrado dessa quantidade, com um fator dependente do módulo de cisalhamento do material.

Passo 7

A densidade de energia distorcional pode ser expressa como:
Us = G2 epsilon' : epsilon'
Onde é o módulo de cisalhamento, que mede a resistência do material à deformação de forma. O símbolo “:” representa o produto de contração de tensores.

Resposta

Portanto, as expressões finais para as densidades de energia são:
Uv = K2 (tr(epsilon))^2
Us = G2 epsilon' : epsilon'

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