Seja um problema genérico de tensões/deformações 3D. Obtenha as expressões finais para a densidade de energia de deformação volumétrica (DEDv) -
- e para a densidade de energia de deformação distorcional ou desviadora (DEDs) - Us.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um problema genérico de tensões e deformações em 3D. Nosso objetivo é encontrar as expressões finais para duas coisas importantes: a densidade de energia de deformação volumétrica, que chamaremos de
, e a densidade de energia de deformação distorcional ou desviadora, que vamos chamar de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a energia de deformação é dividida em partes que envolvem mudanças de volume e mudanças de forma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer deformação em um material pode ser decomposta em duas partes: uma que muda o volume do material (volumétrica) e outra que muda a forma sem alterar o volume (deformação distorcional). Essa decomposição é útil porque permite analisar separadamente os efeitos que cada tipo de deformação tem sobre a energia armazenada no material.
Passo 3
A densidade de energia de deformação (
) total pode ser expressa como a soma das duas componentes:
Aqui,
representa a energia associada à mudança de volume, e
representa a energia associada à mudança de forma.
Passo 4
Para encontrar
, consideramos apenas as deformações que afetam o volume. Em termos de tensão e deformação, isso está relacionado à parte escalar da deformação, que é dada pelo traço do tensor de deformação (
):
A energia volumétrica é então proporcional ao quadrado dessa quantidade, com um fator dependente do módulo de compressibilidade do material.
Passo 5
Matematicamente, a densidade de energia volumétrica pode ser escrita como:
Onde
é o módulo de compressibilidade, que mede a resistência do material à mudança de volume.
Passo 6
Agora, para encontrar
, a densidade de energia de deformação distorcional, consideramos apenas as deformações que mudam a forma do material sem alterar o volume. Isso está relacionado à parte traceless (sem traço) do tensor de deformação, ou seja, subtraímos a parte volumétrica da deformação total:
Onde
é o tensor identidade. A energia distorcional é então proporcional ao quadrado dessa quantidade, com um fator dependente do módulo de cisalhamento do material.
Passo 7
A densidade de energia distorcional pode ser expressa como:
Onde
é o módulo de cisalhamento, que mede a resistência do material à deformação de forma. O símbolo “:” representa o produto de contração de tensores.
Resposta
Portanto, as expressões finais para as densidades de energia são: