(valor: 3,0) Seja uma viga bi-apoiada com vão 350 mm e seção transversal quadrada de lado 50 mm . Inspirado no teste do APO (aparato de proteção ao ovo do Ibracon), determine por um método energético a máxima tensão normal solicitante pela carga dinâmica aplicada no meio do vão, com massa =15 kg, que cai a uma altura de 2,5 m. Sabe-se que a carga dinâmica aplicada é dada por P din =P est (1+raiz1+2 hDe e o módulo de elasticidade longitudinal do material E=23 GPa. Despreze a deflexão por cisalhamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma viga bi-apoiada (ou seja, apoiada em duas extremidades) com um vão de 350 mm e seção quadrada de lado 50 mm. A ideia é descobrir qual é a máxima tensão normal que essa viga sofre quando uma carga dinâmica é aplicada no meio do vão. A carga dinâmica vem de uma massa de 15 kg que cai de uma altura de 2,5 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente o cálculo de tensões em vigas sob carga dinâmica, e aplicar a fórmula fornecida para a carga dinâmica. Também vamos utilizar o módulo de elasticidade do material, que é dado como 23 GPa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga estática Pest = m cdot g que age sobre a viga. Quando uma massa cai, a força estática é simplesmente o peso da massa. A fórmula para isso é:
Pest = 15 , kg times 9,81 , m/s^2 = 147,15 , N
Onde:
  • (massa)
  • (aceleração da gravidade)
Calculando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a deflexão estática De da viga sob essa carga. Para uma viga bi-apoiada com carga concentrada no meio, a deflexão é dada por:
I = a^412
Onde:
  • I = (0,05)^412 = 6,25 times 10^-612 = 5,208 times 10^-7 , m^4 (vão da viga)
  • De (módulo de elasticidade)
  • Numerador = 147,15 times 0,042875 = 6,305 , Ncdotm^3 é o momento de inércia da seção transversal quadrada.
Para uma seção quadrada, o momento de inércia Denominador = 48 times 23 times 10^9 times 5,208 times 10^-7 = 5,741 times 10^5 é:
De
Com :
Agora, substituindo na fórmula da deflexão:
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Portanto:

Passo 4

Com a deflexão estática encontrada, podemos calcular a carga dinâmica Pdin = Pest (1 + raiz1 + 2hDe usando a fórmula fornecida:
Pdin = 147,15 (1 + raiz1 + 2 times 2,51,098 times 10^-5 )
Onde:
  • 2 times 2,51,098 times 10^-5 = 51,098 times 10^-5 approx 455,372,294 (altura da queda)
  • raiz1 + 455,372,294 approx raiz455,372,295 approx 21,34,340
Substituindo os valores:
Pdin approx 147,15 times (1 + 21,34,340) approx 147,15 times 21,34,341 approx 3,139,858 , N
Calculando a parte dentro da raiz:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a máxima tensão normal sigmamax = Mmax cdot cI na viga devido à carga dinâmica. A tensão máxima em uma viga bi-apoiada com carga concentrada no meio é dada por:
Mmax = 3,139,858 times 0,354 approx 1,098,950.34 approx 274,737.58 , Ncdotm
Onde:
  • sigmamax = 274,737.58 times 0,0255,208 times 10^-7 approx 6,868.445,208 times 10^-7 approx 1,318 times 10^9 , Pa = 1,318 , GPa (momento máximo)
  • é a distância do centroide até a fibra mais externa (metade da altura da seção)
  • já calculamos anteriormente.
Calculando :
Agora, substituindo na fórmula da tensão:

Resposta

A máxima tensão normal solicitante pela carga dinâmica é aproximadamente .

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