Uma bicicleta tem um tubo de aço (1045; G =80 GPa e E =200 GPa ) com um diâmetro de 32 mm e uma espessura de 2 mm em sua roda traseira. O tubo é submetido a uma torção de 150 N.m. (a) Qual é a tensão provocada pela torção no tubo e (b) qual é a deformação que ele sofreu e supondo que o limite de deformação elástica na torção para esse aço seja de 3 %, que conclusão podemos ter?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma roda traseira de bicicleta feita de um tubo de aço com diâmetro de 32 mm e espessura de 2 mm. Esse tubo está sendo torcido com um torque de 150 N.m. O exercício pede duas coisas:
a) Calcular a tensão causada por essa torção no tubo.
b) Determinar a deformação que o tubo sofreu e, sabendo que o limite de deformação elástica para esse aço é de 3%, tirar uma conclusão.
Vamos usar conceitos de torção de eixos circulares na resistência dos materiais, especificamente as fórmulas relacionadas à tensão de torção e deformação angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a tensão de torção. A fórmula que usamos para a tensão de torção, também conhecida como tensão cortante máxima, é:
tau = T cdot rJ
Onde:
  • é a tensão de torção,
  • é o torque aplicado,
  • é o raio interno do tubo,
  • é o momento polar de inércia da seção transversal.

Passo 3

Para aplicar essa fórmula, precisamos calcular o raio interno Di = De - 2 cdot espessura = 32,mm - 2 cdot 2,mm = 28,mm e o momento polar de inércia r = Di2 = 28,mm2 = 14,mm = 0,014,m .
O diâmetro externo é 32 mm e a espessura é 2 mm, então o diâmetro interno é:
O raio interno é metade do diâmetro interno:

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento polar de inércia J = pi2 ( Re^4 - Ri^4 ) para um tubo circular. A fórmula é:
Re = 32,mm2 = 16,mm = 0,016,m
Onde:
  • Ri = 0,014,m é o raio externo,
  • J = pi2 ( (0,016)^4 - (0,014)^4 ) é o raio interno.
Convertendo para metros:
J approx pi2 ( 6,5536 times 10^-8 - 3,8416 times 10^-8 )
J approx pi2 times 2,712 times 10^-8 approx 4,26 times 10^-8,m^4
Então:

Passo 5

Agora que temos todos os valores, vamos calcular a tensão de torção tau = T cdot rJ = 150,Nm cdot 0,014,m4,26 times 10^-8,m^4 :
tau approx 2,1,Nm4,26 times 10^-8,m^4 approx 4,93 times 10^7,N/m^2
tau approx 49,3,MPa

Passo 6

Agora, vamos para a parte b), que é calcular a deformação que o tubo sofreu. Usamos a fórmula da deformação angular gamma = T cdot LJ cdot G na torção:
theta = T cdot LJ cdot G
Mas como não foi dado o comprimento gamma = tauG do tubo, provavelmente o que se quer é a deformação angular máxima, que é dada por:
gamma = 49,3 times 10^6,N/m^280 times 10^9,N/m^2 = 6,16 times 10^-4 = 0,0616%
No entanto, sem o comprimento, vamos considerar que a deformação angular está relacionada à tensão e ao módulo de rigidez :
Dado que :

Passo 7

O limite de deformação elástica na torção para esse aço é de . Nossa deformação calculada foi de aproximadamente , que é bem menor que o limite de 3%. Isso significa que o tubo está operando dentro da faixa elástica do material, ou seja, ele vai voltar à sua forma original após a remoção do torque, sem sofrer deformações permanentes.

Resposta

(a) A tensão de torção no tubo é de aproximadamente .
(b) A deformação sofrida pelo tubo é de cerca de . Como esse valor está abaixo do limite elástico de , concluímos que o tubo está operando de forma segura e não sofrerá deformações permanentes.

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