Dois eixos, submetidos a torção, estão sendo considerados para um carro esportivo: um eixo de alumínio com um módulo de elasticidade de cisalhamento de 26 GPa e um eixo de aço com um módulo de elasticidade de cisalhamento de 80 GPa . Ambos têm o mesmo comprimento de 1 m e diâmetro de 25 mm . Se ambos os eixos forem submetidos ao mesmo torque de 1.000 Nm , compare a deformação angular de ambos os eixos e determine qual material é mais adequado para aplicações que exigem menor deformação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre torção em eixos! A gente tem dois materiais diferentes, alumínio e aço, com módulos de elasticidade de cisalhamento diferentes. Ambos os eixos têm o mesmo comprimento e diâmetro e recebem o mesmo torque. Nosso objetivo aqui é comparar a deformação angular de cada eixo e descobrir qual material é melhor quando a gente precisa de menos deformação. Para isso, vamos usar a fórmula da torção que relaciona torque, módulo de elasticidade, geometria do eixo e a deformação angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da deformação angular (
) em um eixo submetido a torção:
Onde:
-
é o torque aplicado, -
é o comprimento do eixo, -
é o módulo de elasticidade de cisalhamento do material, -
é o momento polar de inércia da seção transversal do eixo.
Passo 3
Vamos calcular o momento polar de inércia (
) para ambos os eixos. Como os eixos são circulares e têm o mesmo diâmetro, o cálculo será o mesmo para os dois. A fórmula para
de um círculo é:
Onde
é o diâmetro do eixo.
Dado que
, vamos converter para metros para manter as unidades consistentes:
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a deformação angular (
) para o eixo de alumínio. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Mas isso parece muito grande, vamos refazer os cálculos com mais precisão:
Claramente, algo está errado, pois a deformação angular não deve ser dessa magnitude. Vamos revisar os cálculos.
Passo 5
Vamos recalcular o momento polar de inércia com mais precisão:
Agora, recalculando
:
Parece que há um erro de unidade ou cálculo. Deveríamos obter um valor muito menor para a deformação angular.
Passo 6
Vamos ajustar as unidades para garantir que tudo esteja correto. O momento de inércia está em
,
em
(ou
),
em
e
em
. A fórmula está correta, então provavelmente houve um erro na conversão ou no cálculo.
Vamos refazer
:
Ainda assim, algo está errado, pois a deformação angular não deveria ser tão grande. Vamos verificar a fórmula correta.
Passo 7
Desculpe pelo erro anterior! A fórmula correta para a deformação angular é:
Vamos garantir que todas as unidades estejam corretas:
-
-
-
em -
em
Substituindo:
Ainda está alto! Vamos reconsiderar se os valores estão corretos ou se há algum fator faltando.
Passo 8
Após revisar, percebi que o momento polar de inércia está correto, então o grande valor de
indica que o torque aplicado é muito alto para as dimensões e materiais dados. No entanto, geralmente, a deformação angular em tais casos é pequena. Vamos calcular em graus para verificar:
Isso confirma que há uma deformação muito grande, o que em aplicações reais não seria desejável. Vamos prosseguir com o cálculo para o aço e comparar.
Passo 9
Calculando agora para o eixo de aço:
Convertendo para graus:
Resposta
A deformação angular do eixo de alumínio é aproximadamente
radianos (cerca de
) e a do eixo de aço é aproximadamente
radianos (cerca de
). Portanto, o aço apresenta menor deformação angular sob o mesmo torque, sendo mais adequado para aplicações que exigem menor deformação.