Calcule, caso exista, o limite limlimitsx to 0 dfracx^2sen ^2 (3x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos usar uma propriedade importante que relaciona o seno e o próprio ângulo quando ele está próximo de zero.

Passo 2

Sabemos que quando está bem perto de zero, é aproximadamente igual a . Ou seja, para . Essa é uma aproximação útil porque simplifica nossos cálculos. No nosso caso, temos , então podemos dizer que quando está próximo de zero.

Passo 3

Vamos substituir essa aproximação na expressão original:
dfracx^2sen^2 (3x) approx dfracx^2(3x)^2 = dfracx^29x^2
Os dfrac19 se cancelam, ficando:
Isso significa que, conforme se aproxima de zero, a expressão se aproxima de .

Resposta

O limite é .

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