Calcule o tensor deformação infinitesimal paara os seguintes campos de deslocamento:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o tensor de deformação infinitesimal para quatro campos de deslocamento diferentes. Isso está dentro da matéria de Mecânica dos Materiais, mais especificamente na parte de análise de tensões e deformações. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o tensor de deformação a partir do campo de deslocamento dado. Basicamente, vamos usar derivadas parciais dos componentes do deslocamento em relação às coordenadas espaciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o tensor de deformação infinitesimal é definido por:
Aqui, são os componentes do vetor de deslocamento , e são as coordenadas espaciais (, , ). Nosso objetivo é encontrar todas as componentes para cada campo de deslocamento fornecido.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro campo de deslocamento:
Vamos identificar os componentes:
ux = x100
uy = y^2200
uz = 0,02 + y^2 x500
Agora, calculamos as derivadas necessárias:
partial uxpartial x = 1100, partial uxpartial y = 0, partial uxpartial z = 0
partial uypartial x = 0, partial uypartial y = 2y200 = y100, partial uypartial z = 0
partial uzpartial x = y^2500, partial uzpartial y = 2xy500 = xy250, partial uzpartial z = 0
Passo 4
Agora, montamos o tensor de deformação para o primeiro campo:
[varepsilon] = partial uxpartial x & 12(partial uxpartial y + partial uypartial x) & 12(partial uxpartial z + partial uzpartial x) 12(partial uypartial x + partial uxpartial y) & partial uypartial y & 12(partial uypartial z + partial uzpartial y) 12(partial uzpartial x + partial uxpartial z) & 12(partial uzpartial y + partial uypartial z) & partial uzpartial z
Vamos fazer o mesmo para o segundo campo de deslocamento:
d = l (x^3 + 10) times 10^-2 mm 3 y z times 10^-2 mm (z^2 - y x) times 10^-2 mm ^T
Convertendo para metros (já que 1 mm = 10^-3 m):
d = l (x^3 + 10) times 10^-5 m 3 y z times 10^-5 m (z^2 - y x) times 10^-5 m ^T
Componentes:
ux = (x^3 + 10) times 10^-5
uy = 3 y z times 10^-5
uz = (z^2 - y x) times 10^-5
Calculando as derivadas:
partial uxpartial x = 3x^2 times 10^-5, partial uxpartial y = 0, partial uxpartial z = 0
partial uypartial x = 0, partial uypartial y = 3 z times 10^-5, partial uypartial z = 3 y times 10^-5
partial uzpartial x = - y times 10^-5, partial uzpartial y = - x times 10^-5, partial uzpartial z = 2 z times 10^-5
Passo 6
Montando o tensor de deformação para o segundo campo:
[varepsilon] = 3x^2 times 10^-5 & 12(0 + 0) & 12(0 - y times 10^-5) 12(0 + 0) & 3 z times 10^-5 & 12(3 y times 10^-5 + (-x) times 10^-5) 12(- y times 10^-5 + 0) & 12(-x times 10^-5 + 3 y times 10^-5) & 2 z times 10^-5
Simplificando:
[varepsilon] = 3x^2 times 10^-5 & 0 & -y2 times 10^-5 0 & 3 z times 10^-5 & 3 y - x2 times 10^-5 -y2 times 10^-5 & 3 y - x2 times 10^-5 & 2 z times 10^-5
Passo 7
Agora, para o terceiro campo de deslocamento:
d = l 6 y + 5 z times 10^-2 mm -6 x + 3 z times 10^-2 mm -5 x - 3 y times 10^-2 mm ^T
Convertendo para metros:
d = l (6 y + 5 z) times 10^-5 m (-6 x + 3 z) times 10^-5 m (-5 x - 3 y) times 10^-5 m ^T
Componentes:
ux = (6 y + 5 z) times 10^-5
uy = (-6 x + 3 z) times 10^-5
uz = (-5 x - 3 y) times 10^-5
Calculando as derivadas:
partial uxpartial x = 0, partial uxpartial y = 6 times 10^-5, partial uxpartial z = 5 times 10^-5
partial uypartial x = -6 times 10^-5, partial uypartial y = 0, partial uypartial z = 3 times 10^-5
partial uzpartial x = -5 times 10^-5, partial uzpartial y = -3 times 10^-5, partial uzpartial z = 0
Passo 8
Montando o tensor de deformação para o terceiro campo:
[varepsilon] = 0 & 12(6 times 10^-5 + (-6) times 10^-5) & 12(5 times 10^-5 + (-5) times 10^-5) 12((-6) times 10^-5 + 6 times 10^-5) & 0 & 12(3 times 10^-5 + (-3) times 10^-5) 12((-5) times 10^-5 + 5 times 10^-5) & 12((-3) times 10^-5 + 3 times 10^-5) & 0
Simplificando:
[varepsilon] = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Ou seja, todas as componentes do tensor de deformação são nulas para este campo de deslocamento.
Passo 9
Por fim, o quarto campo de deslocamento:
d = l (y^2 + 3 z) times 10^-2 mm (x + 3 y z) times 10^-2 mm sin z times 10^-2 mm ^T
Convertendo para metros:
d = l (y^2 + 3 z) times 10^-5 m (x + 3 y z) times 10^-5 m sin z times 10^-5 m ^T
Componentes:
ux = (y^2 + 3 z) times 10^-5
uy = (x + 3 y z) times 10^-5
uz = sin z times 10^-5
Calculando as derivadas:
partial uxpartial x = 0, partial uxpartial y = 2 y times 10^-5, partial uxpartial z = 3 times 10^-5
partial uypartial x = 1 times 10^-5, partial uypartial y = 3 z times 10^-5, partial uypartial z = 3 y times 10^-5
partial uzpartial x = 0, partial uzpartial y = 0, partial uzpartial z = cos z times 10^-5
Passo 10
Montando o tensor de deformação para o quarto campo:
[varepsilon] = 0 & 12(2 y times 10^-5 + 1 times 10^-5) & 12(3 times 10^-5 + 0) 12(1 times 10^-5 + 2 y times 10^-5) & 3 z times 10^-5 & 12(3 y times 10^-5 + 0) 12(0 + 3 times 10^-5) & 12(0 + 3 y times 10^-5) & cos z times 10^-5
Simplificando:
[varepsilon] = 0 & (2 y + 1) times 10^-5 & 1.5 times 10^-5 (2 y + 1) times 10^-5 & 3 z times 10^-5 & 1.5 y times 10^-5 1.5 times 10^-5 & 1.5 y times 10^-5 & cos z times 10^-5
Resposta
Os tensores de deformação infinitesimal [varepsilon] para os campos de deslocamento fornecidos são:
[varepsilon] = 3x^2 times 10^-5 & 0 & -y2 times 10^-5 0 & 3 z times 10^-5 & 3 y - x2 times 10^-5 -y2 times 10^-5 & 3 y - x2 times 10^-5 & 2 z times 10^-5
Terceiro Campo de Deslocamento:
[varepsilon] = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Quarto Campo de Deslocamento:
[varepsilon] = 0 & (2 y + 1) times 10^-5 & 1.5 times 10^-5 (2 y + 1) times 10^-5 & 3 z times 10^-5 & 1.5 y times 10^-5 1.5 times 10^-5 & 1.5 y times 10^-5 & cos z times 10^-5