Deduzas campos de deslocamento de três componentes mecânicos e são dados a seguir:
Qual é a posição do ponto originalmente nas coordenadas (3,1,-2) após a deformação ocorrer?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre campos de deslocamento para três componentes mecânicos, chamadas A, B e C. Cada uma delas tem uma função vetorial que nos diz como um ponto vai se mover após uma deformação. A posição inicial do ponto está nas coordenadas (3,1,-2). Para descobrir a nova posição desse ponto após a deformação, vamos precisar calcular o deslocamento total aplicando os campos de deslocamento de A, B e C nesse ponto e então somar esse deslocamento à posição original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada campo de deslocamento. Cada d tem três componentes: u, v e w, que correspondem aos deslocamentos nas direções x, y e z, respectivamente.
Para a componente A:
dA = x^2 + y 3 + z x^2 + 2y times 10^-2 , mm
Para a componente B:
dB = 2 + xy x^2 - y^2 2x - y times 10^-2 , mm
Para a componente C:
dC = - x^3 0 x^2 + 2y times 10^-2 , mm
Passo 3
Agora, vamos calcular cada deslocamento nas coordenadas dadas (x, y, z) = (3, 1, -2).
Deslocamento de A:
uA &= 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 vA &= 3 + (-2) = 1 wA &= 3^2 + 2 times 1 = 9 + 2 = 11 dA &= 10 1 11 times 10^-2 , mm = 0.10 0.01 0.11 , mm
Deslocamento de B:
uB &= 2 + (3)(1) = 2 + 3 = 5 vB &= 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 wB &= 2 times 3 - 1 = 6 - 1 = 5 dB &= 5 8 5 times 10^-2 , mm = 0.05 0.08 0.05 , mm
Deslocamento de C:
uC &= -3^3 = -27 vC &= 0 wC &= 3^2 + 2 times 1 = 9 + 2 = 11 dC &= -27 0 11 times 10^-2 , mm = -0.27 0.00 0.11 , mm
Passo 4
Agora, vamos somar os deslocamentos das componentes A, B e C para obter o deslocamento total:
dtotal = dA + dB + dC = 0.10 0.01 0.11 + 0.05 0.08 0.05 + -0.27 0.00 0.11 = -0.12 0.09 0.27 , mm
Passo 5
Por fim, aplicamos o deslocamento total à posição inicial do ponto para encontrar a nova posição:
xfinal &= 3 + (-0.12) = 2.88 , mm yfinal &= 1 + 0.09 = 1.09 , mm zfinal &= -2 + 0.27 = -1.73 , mm
Resposta
Após a deformação, a posição do ponto passa a ser (2.88, , 1.09, , -1.73) mm.