(Definição de deformações térmicas) Seja um corpo submetido à uma variação de temperatura constante
, composto de um material com coeficiente de dilatação térmica diferente em cada uma das três direções
,
e
. Partindo da definição do tensor deformação infinitesimal, mostre que, em cada uma das direções, as componente de deformação normal causadas pela variação de temperatura são dadas por:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo que sofre uma variação constante de temperatura
e é feito de um material que se expande de maneira diferente em cada uma das três direções: x, y e z. Os coeficientes de dilatação térmica nessas direções são
,
e
, respectivamente. Nosso objetivo é mostrar, usando a definição do tensor de deformação infinitesimal, que as componentes de deformação normal em cada direção são dadas por:
Para resolver isso, precisamos entender o que é um tensor de deformação infinitesimal e como a variação de temperatura afeta as dimensões do material.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de deformação infinitesimal. Esse tensor, geralmente representado por
, descreve como um corpo se deforma quando sujeito a pequenas alterações, como estiramentos ou compressões. Ele tem componentes que representam tanto deformações normais (nas direções x, y e z) quanto deformações de cisalhamento (entre as direções).
No nosso caso, estamos focando apenas nas deformações normais causadas pela variação de temperatura, pois não há forças externas aplicadas que causem cisalhamento.
Passo 3
Agora, vamos analisar como a variação de temperatura afeta o comprimento de um material. A dilatação térmica em uma direção específica é dada pelo produto do coeficiente de dilatação térmica nessa direção pelo aumento (ou diminuição) da temperatura. Ou seja, a variação do comprimento na direção x é:
Onde:
-
é o comprimento original na direção x. -
é a variação do comprimento na direção x.
A deformação normal, que é a mudança relativa no comprimento, é dada por:
Passo 4
De maneira semelhante, aplicando o mesmo raciocínio para as direções y e z, temos:
Resposta
Assim, demonstramos que as componentes de deformação normal causadas pela variação de temperatura
são: