O cilindro de massa
e raio
rola sem escorregar numa superfície de raio
. Determine a frequência das pequenas oscilações do sistema.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de massa
e raio
que está rolando sem escorregar sobre uma superfície com raio
. Precisamos determinar a frequência das pequenas oscilações desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de rotação, energia cinética e movimento harmônico simples.
Passo 2
Como o cilindro está rolando sem escorregar, existe uma relação entre a velocidade linear
do centro de massa e a velocidade angular
do cilindro. Essa relação é dada por:
Isso significa que a velocidade com que o cilindro se move para frente está diretamente ligada à rapidez com que ele gira.
Passo 3
Vamos considerar as energias envolvidas no movimento do cilindro. A energia total do sistema será a soma da energia cinética de translação (devido ao movimento do centro de massa) e da energia cinética de rotação (devida à rotação do cilindro). A energia cinética de translação é:
E a energia cinética de rotação é:
Onde
é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
Passo 4
Vamos substituir
na expressão da energia cinética de rotação usando a relação
:
Agora, somando as duas energias cinéticas:
Passo 5
Para oscilações pequenas, a energia potencial do sistema está relacionada ao deslocamento
do cilindro em relação à posição de equilíbrio. A energia potencial gravitacional é aproximadamente:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
A energia total do sistema durante as oscilações pode ser expressa como a soma da energia cinética total e da energia potencial:
No movimento harmônico simples, essa energia pode ser relacionada à constante da mola
e à massa efetiva
do sistema:
Passo 7
Comparando as duas expressões de energia, identificamos que
e
. Portanto, a massa efetiva é:
Passo 8
A frequência angular
das oscilações é dada por:
Resposta
A frequência das pequenas oscilações do sistema é: