O cilindro de massa m e raio r rola sem escorregar numa superfície de raio R. Determine a frequência das pequenas oscilações do sistema.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de massa e raio que está rolando sem escorregar sobre uma superfície com raio . Precisamos determinar a frequência das pequenas oscilações desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de rotação, energia cinética e movimento harmônico simples.

Passo 2

Como o cilindro está rolando sem escorregar, existe uma relação entre a velocidade linear v = omega r do centro de massa e a velocidade angular do cilindro. Essa relação é dada por:
Isso significa que a velocidade com que o cilindro se move para frente está diretamente ligada à rapidez com que ele gira.

Passo 3

Vamos considerar as energias envolvidas no movimento do cilindro. A energia total do sistema será a soma da energia cinética de translação (devido ao movimento do centro de massa) e da energia cinética de rotação (devida à rotação do cilindro). A energia cinética de translação é:
Etrans = 12 m v^2
E a energia cinética de rotação é:
Erot = 12 I omega^2
Onde I = 12 m r^2 é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:

Passo 4

Vamos substituir Erot = 12 cdot 12 m r^2 ( vr )^2 = 14 m v^2 na expressão da energia cinética de rotação usando a relação Etotal = Etrans + Erot = 12 m v^2 + 14 m v^2 = 34 m v^2 :
Agora, somando as duas energias cinéticas:

Passo 5

Para oscilações pequenas, a energia potencial do sistema está relacionada ao deslocamento Epot = m g x do cilindro em relação à posição de equilíbrio. A energia potencial gravitacional é aproximadamente:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 6

A energia total do sistema durante as oscilações pode ser expressa como a soma da energia cinética total e da energia potencial:
E = 34 m v^2 + m g x
No movimento harmônico simples, essa energia pode ser relacionada à constante da mola E = 12 k x^2 + 12 mef v^2 e à massa efetiva do sistema:

Passo 7

Comparando as duas expressões de energia, identificamos que mef = 32 m e . Portanto, a massa efetiva é:

Passo 8

A frequência angular omega = raizkmef = raizm g32 m = raiz2 g3 das oscilações é dada por:

Resposta

A frequência das pequenas oscilações do sistema é:
omega = raiz2g3

Exercícios relacionados