Um cristal cúbico simples exibe picos de difração a
, e
. Calcule os planos cristalográficos ( hkl ) correspondentes a esses picos e determine o parâmetro de rede (a) do cristal. Use um comprimento de onda de raio-X de 1.54 Å.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre difração de raios-X em cristais cúbicos simples. O que a gente precisa descobrir são os planos cristalográficos (hkl) que correspondem aos picos de difração dados, e também o parâmetro de rede
do cristal. Para isso, vamos usar a Lei de Bragg e algumas relações geométricas dos cristais cúbicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Bragg, que nos relaciona o ângulo de difração (
), o comprimento de onda do raio-X (
) e a distância entre os planos cristalográficos (
). A fórmula é:
Aqui, vamos considerar
porque estamos lidando com o primeiro pico de difração.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância
para cada ângulo de difração usando a Lei de Bragg. Vamos reorganizar a fórmula para:
Vamos calcular
para cada um dos ângulos de
:
-
⇒ -
⇒ -
⇒
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, para cristais cúbicos simples, a distância entre planos
está relacionada ao parâmetro de rede
e aos índices de Miller
pela fórmula:
Vamos reorganizar para encontrar
:
Precisamos descobrir quais valores de
dão essa relação para os valores de
que encontramos.
Passo 6
Vamos listar os possíveis valores de
para os menores índices:
-
: -
: -
: -
: -
: -
: - E assim por diante.
Vamos tentar associar cada
com esses valores para encontrar
.
Passo 7
Vamos assumir que os três primeiros picos correspondem aos três menores
, ou seja:
-
corresponde a :
-
corresponde a :
-
corresponde a :
Notamos que os valores de
não são consistentes, indicando que nossos índices iniciais podem estar errados.
Passo 8
Vamos tentar outra abordagem. Suponha que
seja o mesmo para todos os planos. Vamos usar os valores de
para encontrar uma relação comum.
Para
,
Para
,
Para
,
Podemos tirar uma média desses valores para ter uma estimativa de
:
Passo 9
Agora, vamos verificar se esse valor de
faz sentido com os valores de
e os índices de Miller.
Para
:
-
:
Difere de
-
:
Difere de
-
:
Está próximo de
Parece que os índices
correspondem bem, então podemos ajustar os outros índices para melhor se adequarem aos valores de
.
Passo 10
Após ajustar, percebemos que os planos correspondentes são:
-
⇒ -
⇒ -
⇒
E o parâmetro de rede
está próximo de 2,88 Å.
Resposta
Os planos cristalográficos correspondentes aos picos de difração são
,
e
. O parâmetro de rede
do cristal é aproximadamente 2,88 Å.