Prove que a rede recíproca de uma rede hexagonal definida pelos vetores ( a, 0,0 ), (a / 2, a raiz3 / 2,0) e (0,0, c) é outra rede hexagonal girade de 30^circ em relação a rede original. encontre os vetores primitivos para a rede recíproca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a rede recíproca de uma rede hexagonal é outra rede hexagonal, mas girada 30 graus em relação à original. Além disso, precisamos encontrar os vetores primitivos dessa rede recíproca. Para isso, vamos trabalhar com a teoria de redes cristalinas e redes recíprocas, usando vetores primitivos e produtos vetoriais. Vamos precisar das fórmulas para calcular a rede recíproca e entender como as rotações funcionam nas redes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar a rede recíproca. Se temos os vetores primitivos da rede direta, que chamaremos de a₁, a₂, a₃, os vetores primitivos da rede recíproca (b₁, b₂, b₃) são dados por:
b1 = 2pi a2 times a3a1 cdot (a2 times a3)
b2 = 2pi a3 times a1a1 cdot (a2 times a3)
b3 = 2pi a1 times a2a1 cdot (a2 times a3)
Vamos aplicar essas fórmulas usando os vetores primitivos da rede hexagonal dada.

Passo 3

Os vetores primitivos da rede hexagonal original são:
a1 = (a, 0, 0)
a2 = (a2, a raiz32, 0)
a3 = (0, 0, c)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a2 times a3 = |ccc i & j & k a2 & a raiz32 & 0 0 & 0 & c | = ( a raiz32 cdot c ) i - ( a2 cdot c ) j + 0 k = ( a c raiz32, -a c2, 0 ) :

Passo 4

Agora, vamos calcular o denominador a1 cdot (a2 times a3) = (a, 0, 0) cdot ( a c raiz32, -a c2, 0 ) = a cdot a c raiz32 + 0 cdot (-a c2) + 0 cdot 0 = a^2 c raiz32 :

Passo 5

Agora podemos calcular o vetor b1 = 2pi a2 times a3a1 cdot (a2 times a3) = 2pi ( a c raiz32, -a c2, 0 )a^2 c raiz32 = 2pi ( raiz3a raiz3, -1a raiz3, 0 ) = ( 2pia, -2pia raiz3, 0 ) :

Passo 6

De forma semelhante, calculamos a3 times a1 = |ccc i & j & k 0 & 0 & c a & 0 & 0 | = (0 cdot 0 - c cdot 0) i - (0 cdot a - c cdot 0) j + (0 cdot 0 - 0 cdot a) k = (0, 0, 0) . Primeiro, o produto vetorial a3 times a1 = |ccc i & j & k 0 & 0 & c a & 0 & 0 | = (0 cdot 0 - c cdot 0) i - (0 cdot 0 - c cdot a) j + (0 cdot 0 - 0 cdot a) k = (0, c a, 0) :
Ops! Parece que houve um erro aqui. Vamos reavaliar o produto vetorial .

Passo 7

Agora, calculamos b2 = 2pi a3 times a1a1 cdot (a2 times a3) = 2pi (0, c a, 0)a^2 c raiz32 = 2pi ( 0, aa^2 raiz3/2, 0 ) = (0, 4pia raiz3, 0 ) :

Passo 8

Por fim, calculamos b3 = 2pi a1 times a2a1 cdot (a2 times a3) :
a1 times a2 = |ccc i & j & k a & 0 & 0 a2 & a raiz32 & 0 | = (0 cdot 0 - 0 cdot a raiz32) i - (a cdot 0 - 0 cdot a2) j + (a cdot a raiz32 - 0 cdot a2) k = (0, 0, a^2 raiz32)
Primeiro, o produto vetorial b3 = 2pi (0, 0, a^2 raiz32)a^2 c raiz32 = 2pi ( 0, 0, a^2 raiz3/2a^2 c raiz3/2 ) = (0, 0, 2pic ) :
Agora, :

Passo 9

Agora que temos os vetores primitivos da rede recíproca:
b1 = ( 2pia, -2pia raiz3, 0 )
b2 = (0, 4pia raiz3, 0 )
b3 = (0, 0, 2pic )
Podemos observar que no plano , os vetores e formam um ângulo de 60 graus, o que caracteriza uma rede hexagonal. A rotação de 30 graus em relação à rede original ocorre devido à orientação dos vetores primitivos na rede recíproca.

Resposta

A rede recíproca da rede hexagonal original é outra rede hexagonal, girada 30 graus em relação à original. Os vetores primitivos da rede recíproca são:
b1 = ( 2pia, -2pia raiz3, 0 )
b2 = (0, 4pia raiz3, 0 )
b3 = (0, 0, 2pic )

Exercícios relacionados