Dado o seguinte vetor deslocamentos, válido para todo o volume de uma peça:
Calcule as componentes do gradiente do campo de deslocamentos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor de deslocamentos que varia em todo o volume de uma peça. A tarefa é calcular as componentes do gradiente desse campo de deslocamentos. Isso envolve derivadas parciais, que fazem parte de cálculo vetorial. Vamos precisar entender como derivar cada componente do vetor em relação às variáveis , e .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do vetor de deslocamentos d = y^2 3yz 4 + 6x^2 times 10^-2 mm . Ele está dado por:
Aqui, as componentes são:
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o gradiente de um campo vetorial. O gradiente de nabla d = partial upartial x & partial vpartial x & partial wpartial x partial upartial y & partial vpartial y & partial wpartial y partial upartial z & partial vpartial z & partial wpartial z é uma matriz que mostra como cada componente do vetor muda em relação às três direções espaciais (, , ). Matematicamente, é representado por:
Cada elemento dessa matriz é uma derivada parcial que vamos calcular.
Passo 4
Vamos começar calculando as derivadas parciais de partial upartial x = 0 :
partial upartial y = partialpartial y (y^2 times 10^-2) = 2y times 10^-2 : Como partial upartial z = 0 , que não depende de , a derivada é zero.
: Derivando em relação a :
: Novamente, não depende de , então a derivada é zero.
Passo 5
Agora, vamos para as derivadas parciais de partial vpartial x = 0 :
partial vpartial y = partialpartial y (3yz times 10^-2) = 3z times 10^-2 : partial vpartial z = partialpartial z (3yz times 10^-2) = 3y times 10^-2 , que não depende de , então a derivada é zero.
: Derivando em relação a :
: Derivando em relação a :
Passo 6
Finalmente, vamos calcular as derivadas parciais de partial wpartial x = partialpartial x (4 + 6x^2) times 10^-2 = 12x times 10^-2 :
partial wpartial y = 0 : partial wpartial z = 0 , derivando em relação a :
: não depende de , então a derivada é zero.
: também não depende de , então a derivada é zero.
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar a matriz gradiente:
nabla d = 0 & 0 & 12x times 10^-2 2y times 10^-2 & 3z times 10^-2 & 0 0 & 3y times 10^-2 & 0
Resposta
As componentes do gradiente do campo de deslocamentos são: