Um dragster parte do repouso e corre a pista com uma aceleração definida por
, onde
e
estão em
e segundos, respectivamente. Depois de atingir a velocidade de
, um pára-quedas é acionado para ajudar a desacelerar o dragster. Sabendo que esta desaceleração é definida pela relação
, onde
é a velocidade em
, determine (a) o tempo total desde o início da corrida até o carro desacelerar novamente para
, ( b) a distância total que o carro percorre nesse tempo.
Resp.: (a)
(b)
Resp.: (a)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um dragster que parte do repouso e acelera de acordo com a equação
, onde
é a aceleração em metros por segundo ao quadrado (
) e
é o tempo em segundos. Queremos descobrir quanto tempo o dragster leva para desacelerar de volta para
após atingir uma velocidade de
, e também a distância total percorrida nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente variado e integrar as funções de aceleração para encontrar velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o tempo que o dragster leva para atingir
a partir do repouso. Sabemos que a aceleração
. A velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo:
Como o dragster parte do repouso,
, então
. Portanto:
Queremos
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, leva 5 segundos para atingir
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância percorrida durante esses 5 segundos. A posição é a integral da velocidade:
Como parte do repouso,
, então
:
Substituindo
:
Portanto, a distância percorrida até atingir
é aproximadamente 416,67 metros.
Passo 4
Após atingir
, o paraquedas é acionado e a desaceleração passa a ser
. Vamos encontrar o tempo necessário para a velocidade reduzir de
para
.
Sabemos que
. Podemos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para
, considerando que no instante em que começamos a desacelerar (
),
:
Então:
Queremos
:
Então, leva 4,6 segundos para a velocidade reduzir de
para
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância percorrida durante a desaceleração. Sabemos que a velocidade
durante a desaceleração pode ser expressa como:
Para encontrar a posição, integramos
:
Como no início da desaceleração (
),
, então
:
Substituindo
:
Portanto, a distância percorrida durante a desaceleração é aproximadamente 80,47 metros.
Passo 6
Finalmente, somamos os tempos e as distâncias das duas fases:
- Tempo total:
- Distância total:
No entanto, a resposta fornecida no enunciado para a distância total é
. Isso pode ocorrer devido a aproximações diferentes nos cálculos ou na interpretação das equações. Mas seguindo os passos apresentados, chegamos a aproximadamente
.
Resposta
(a)
e
(b)
(b)