Uma placa plana coincidente com o plano x y está disposta de modo que seu canto inferior esquerdo coincide com a origem do sistema de coordenadas. Sabe-se que os lados da placa medem 0,1 m, e que esta se deforma segundo o campo de deslocamentos abaixo:
d=lll x^2 & 2 y^2+3 z & 10 ^T times 10^-4 m
Calcule o tensor deformação [varepsilon]. Explique o significado da componente w do campo de deslocamentos dado. Faça um desenho ilustrando esquematicamente como a placa se deforma após a aplicação das cargas (dica: desenhe o plano x y apenas, com um fator de ampliação adequado).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa plana, com lados de 0,1 metros, posicionada no plano d = x^2 2 y^2 + 3 z 10 times 10^-4 m e com o canto inferior esquerdo na origem. Essa placa está deformando conforme um campo de deslocamento dado por:
O que precisamos fazer aqui é calcular o tensor de deformação , entender o que a componente desse deslocamento representa e desenhar como a placa fica deformada após a aplicação das cargas. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, principalmente noções de tensor de deformação e como ele se relaciona com o campo de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tensor de deformação. Ele descreve como a placa está se deformando em cada direção. Para calcular varepsilonij = 12 ( partial dipartial xj + partial djpartial xi ) , usamos a fórmula:
Aqui, e são as componentes do vetor de deslocamento , e , são as coordenadas espaciais.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do vetor de deslocamento d = dx dy dz = x^2 times 10^-4 (2 y^2 + 3 z) times 10^-4 10 times 10^-4 m :
Perceba que é constante, ou seja, não depende de , ou .

Passo 4

Vamos calcular agora as derivadas parciais necessárias para montar o tensor de deformação. Começamos com as derivadas de partial dxpartial x = partialpartial x ( x^2 times 10^-4 ) = 2x times 10^-4 e partial dxpartial y = partial dxpartial z = 0 :
partial dypartial y = partialpartial y ( 2 y^2 + 3 z ) times 10^-4 = 4y times 10^-4
partial dypartial x = partial dypartial z = 0
partial dzpartial x = partial dzpartial y = partial dzpartial z = 0

Passo 5

Com essas derivadas, vamos montar o tensor de deformação [varepsilon] = partial dxpartial x & 12 ( partial dxpartial y + partial dypartial x ) & 12 ( partial dxpartial z + partial dzpartial x ) 12 ( partial dypartial x + partial dxpartial y ) & partial dypartial y & 12 ( partial dypartial z + partial dzpartial y ) 12 ( partial dzpartial x + partial dxpartial z ) & 12 ( partial dzpartial y + partial dypartial z ) & partial dzpartial z . Como o tensor é simétrico, preenchemos apenas as componentes necessárias:
[varepsilon] = 2x times 10^-4 & 0 & 0 0 & 4y times 10^-4 & 0 0 & 0 & 0
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Então, o tensor de deformação [varepsilon] = 2x times 10^-4 & 0 & 0 0 & 4y times 10^-4 & 0 0 & 0 & 0 é:
Isso significa que a deformação ocorre apenas nas direções e , e não há deformação na direção .

Passo 7

Agora, vamos explicar o significado da componente do campo de deslocamento. No vetor , a componente corresponde a , que é igual a . Isso indica que, independentemente das coordenadas e , a placa está deslocando-se uniformemente na direção com um deslocamento de .

Passo 8

Por fim, para ilustrar como a placa se deforma, imagine o plano ampliado. Como as componentes e variam com e respectivamente, a placa se estica mais conforme nos eixos e aumentam. A componente constante significa que toda a placa está deslocada para cima na direção por uma quantidade fixa.

Resposta

O tensor de deformação [varepsilon] = 2x times 10^-4 & 0 & 0 0 & 4y times 10^-4 & 0 0 & 0 & 0 é dado por:
A componente do campo de deslocamento representa um deslocamento constante de na direção . A placa, após a aplicação das cargas, se estende mais nas direções e conforme aumentam e , e todo o plano é deslocado uniformemente para cima na direção .

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