Demonstre matematicamente a relação entre a densidade (
) de um cristal cúbico de face centrada (FCC) e a massa molar (M), o número de Avogadro (NA), e o parâmetro de rede (a).
Passo 1
Então, você quer que a gente descubra como a densidade (ρ) de um cristal cúbico de face centrada (FCC) está relacionada com a massa molar (M), o número de Avogadro (Nₐ) e o parâmetro de rede (a). Vamos precisar entender um pouco sobre estruturas cristalinas, densidade e como essas grandezas se conectam matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um cristal cúbico de face centrada (FCC). Nesse tipo de estrutura, os átomos estão localizados nos vértices do cubo e no centro de cada uma das faces. Você consegue visualizar um cubo com um átomo em cada canto e um no meio de cada face.
Passo 3
Agora, precisamos determinar quantos átomos existem em uma unidade de célula FCC. Em um cubo:
- Cada vértice é compartilhado por 8 cubos adjacentes, então cada vértice contribui com 1/8 de um átomo para o cubo.
- Cada face é compartilhada por 2 cubos, então cada face contribui com 1/2 de um átomo.
Como temos 8 vértices e 6 faces:
Número total de átomos por célula FCC = 8*(1/8) + 6*(1/2) = 1 + 3 = 4 átomos.
Passo 4
Sabemos que a densidade (ρ) é definida como a massa por unidade de volume. Então, para encontrar a densidade da célula unitária FCC, precisamos calcular a massa total dos átomos na célula e dividir pelo volume da célula.
Passo 5
Vamos calcular a massa total dos átomos na célula:
- A massa molar (M) nos dá a massa de um mol de átomos.
- O número de Avogadro (Nₐ) é o número de átomos em um mol.
- Portanto, a massa de um átomo é M / Nₐ.
Como temos 4 átomos na célula FCC, a massa total (m) é:
m = 4 * (M / Nₐ)
Passo 6
O próximo passo é calcular o volume da célula unitária. Em um cristal cúbico, o volume (V) é simplesmente o parâmetro de rede (a) elevado ao cubo:
V = a³
Passo 7
Agora, podemos expressar a densidade (ρ) como a massa total dividida pelo volume da célula:
ρ = m / V
Substituindo os valores que encontramos:
ρ = [4 * (M / Nₐ)] / a³
Passo 8
Finalmente, simplificando a expressão, temos a relação matemática entre a densidade de um cristal FCC e as grandezas M, Nₐ e a:
ρ = (4M) / (Nₐ * a³)
Resposta
A densidade (ρ) de um cristal cúbico de face centrada (FCC) está relacionada com a massa molar (M), o número de Avogadro (Nₐ) e o parâmetro de rede (a) pela fórmula: