pede-se: (a) mostrar que a expressão da Energia Potencial de Deformação por unidade de volume (slide 23 da Apresentação 4),
, pode ser expressa das seguintes maneiras alternativas: (i)
; (ii)
;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que mostrar duas formas diferentes de expressar a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume, chamada de
. Isso está relacionado ao conteúdo de resistência dos materiais, especificamente à relação entre tensão (
), deformação (
) e o módulo de Young (
). Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial de deformação por unidade de volume (
) para um material elástico é dada por:
Essa fórmula vem da ideia de que a energia armazenada na deformação é proporcional ao produto da tensão e da deformação.
Passo 3
Agora, sabemos que a tensão (
) e a deformação (
) estão relacionadas pelo módulo de Young (
) através da equação:
Essa é a lei de Hooke para materiais elásticos, que nos diz que a tensão é diretamente proporcional à deformação.
Passo 4
Vamos agora substituir uma dessas relações na expressão da energia potencial. Primeiro, para obter a expressão
, vamos resolver a equação da tensão para
:
Substituindo isso na expressão de
:
Pronto, chegamos na primeira forma alternativa.
Passo 5
Agora, para chegar na segunda forma
, vamos substituir a equação da tensão na expressão original de
:
Assim, obtivemos a segunda forma alternativa da energia potencial de deformação por unidade de volume.
Resposta
Mostramos que a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume
pode ser expressa como: