pede-se: (a) mostrar que a expressão da Energia Potencial de Deformação por unidade de volume (slide 23 da Apresentação 4), U, pode ser expressa das seguintes maneiras alternativas: (i) U=12 sigmax^2E; (ii) U= 12 E varepsilonx^2;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que mostrar duas formas diferentes de expressar a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume, chamada de . Isso está relacionado ao conteúdo de resistência dos materiais, especificamente à relação entre tensão ( ), deformação ( ) e o módulo de Young ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial de deformação por unidade de volume ( U = 12 sigma varepsilon ) para um material elástico é dada por:
Essa fórmula vem da ideia de que a energia armazenada na deformação é proporcional ao produto da tensão e da deformação.

Passo 3

Agora, sabemos que a tensão ( sigma = E varepsilon ) e a deformação ( ) estão relacionadas pelo módulo de Young ( ) através da equação:
Essa é a lei de Hooke para materiais elásticos, que nos diz que a tensão é diretamente proporcional à deformação.

Passo 4

Vamos agora substituir uma dessas relações na expressão da energia potencial. Primeiro, para obter a expressão varepsilon = sigmaE , vamos resolver a equação da tensão para U = 12 sigma ( sigmaE ) = 12 sigma^2E :
Substituindo isso na expressão de :
Pronto, chegamos na primeira forma alternativa.

Passo 5

Agora, para chegar na segunda forma U = 12 (E varepsilon) varepsilon = 12 E varepsilon^2 , vamos substituir a equação da tensão na expressão original de :
Assim, obtivemos a segunda forma alternativa da energia potencial de deformação por unidade de volume.

Resposta

Mostramos que a Energia Potencial de Deformação por unidade de volume U = 12 sigma^2E e U = 12 E varepsilon^2 pode ser expressa como:

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