(b) Suponha que o fluido é água doce, que a seção reta é v=raiz2 R^2+P p4 a^2-A) na entrada e 64 cm^2 na garganta, e que a pressão é 32 cm^2 na entrada e 55 kPa na garganta. Qual é a vazão de água em metros cúbicos por segundo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluido, que no caso é água doce, passando por duas seções diferentes de um tubo: uma entrada com área de 64 , cm²² e uma garganta com área de 32 , cm²². As pressões nessas seções são de 55 , kPa na entrada e 41 , kPa na garganta. Nosso objetivo é descobrir qual é a vazão de água (ou seja, o volume de água que passa por segundo) em metros cúbicos por segundo ( m³/s³).
Para resolver isso, vamos usar duas ideias principais da física dos fluidos:
  1. Equação da Continuidade: que nos diz que a quantidade de fluido que entra em uma certa seção deve ser igual à que sai, considerando as áreas e velocidades.
  2. Equação de Bernoulli: que relaciona a pressão e a velocidade do fluido em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados, já que queremos a resposta em metros cúbicos por segundo.
Sabemos que:
1 , cm² = 10^-4 , m² ²²
Portanto:
A1 = 64 , cm² = 64 times 10^-4 , m² = 0.0064 , m² ²²²
A2 = 32 , cm² = 32 times 10^-4 , m² = 0.0032 , m² ²²²

Passo 3

Agora, vamos usar a Equação da Continuidade. Ela nos diz que:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • A1 e A2 são as áreas das seções,
  • v1 e v2 são as velocidades do fluido nessas seções.
Como queremos a vazão, vamos precisar relacionar essas velocidades.

Passo 4

Vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre as duas seções. A equação é:
P1 + 12 rho v1² = P2 + 12 rho v2² ²²
Onde:
  • P1 e P2 são as pressões nas seções,
  • rho é a densidade da água (aproximadamente 1000 , kg/m³³ para água doce),
  • v1 e v2 são as velocidades nas seções.

Passo 5

Primeiro, vamos expressar v2 em termos de v1 usando a Equação da Continuidade:
v2 = A1A2 v1 = 0.00640.0032 v1 = 2 v1
Então, v2 = 2 v1.

Passo 6

Agora, substituímos v2 na Equação de Bernoulli:
P1 + 12 rho v1² = P2 + 12 rho (2 v1)² ²²
55,000 + 12 times 1000 times v1² = 41,000 + 12 times 1000 times 4 v1² ²²
55,000 + 500 v1² = 41,000 + 2000 v1² ²²

Passo 7

Vamos resolver para v1:
55,000 - 41,000 = 2000 v1² - 500 v1² ²²
14,000 = 1500 v1² ²
v1² = 14,0001500 approx 9.333 ²
v1 approx raiz9.333 approx 3.056 , m/s

Passo 8

Agora que temos v1, podemos encontrar v2:
v2 = 2 v1 approx 2 times 3.056 approx 6.112 , m/s

Passo 9

Por fim, a vazão ( Q) pode ser calculada usando a Equação da Continuidade:
Q = A1 times v1 = 0.0064 , m² times 3.056 , m/s approx 0.01953 , m³/s ²³
Ou, arredondando:
Q approx 0.0195 , m³/s ³

Resposta

A vazão de água é aproximadamente 0,0195 , m³/s³.

Exercícios relacionados