Um tubo de aço (
) com diâmetro externo de 32 mm e espessura de parede de 4 mm é colocado em um torno mecânico, ajustado de forma que as placas apenas encostem nas extremidades do tubo, sem exercer pressão sobre elas. As duas forças mostradas são então aplicadas ao tubo. Após a aplicação das forças, o torno é ajustado para reduzir a distância entre as placas em 0,2 mm. Determine (a) as forças exercidas pelo torno sobre o tubo em A e D, (b) a mudança de comprimento da porção BC do tubo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um tubo de aço com algumas medidas e propriedades específicas, colocado em um torno mecânico. O enunciado nos pede para descobrir duas coisas: as forças que o torno exerce sobre o tubo nos pontos A e D, e como o comprimento da parte BC do tubo muda quando o torno ajusta a distância entre as placas em 0,2 mm.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente módulo de elasticidade e deformação axial. Precisamos entender como o material responde às forças aplicadas e como isso afeta o comprimento do tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do tubo. O diâmetro externo é de 32 mm e a espessura da parede é de 4 mm. Isso significa que o diâmetro interno é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo, que é importante para relacionar a força aplicada com a deformação. A área da seção transversal de um tubo é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
O próximo passo é entender como a deformação ocorre. Quando o torno ajusta a distância entre as placas em 0,2 mm, isso causa uma compressão no tubo. A relação entre força, deformação e módulo de elasticidade é dada por:
Aqui,
é a mudança no comprimento (0,2 mm),
é a força que queremos encontrar,
é o comprimento original da parte BC,
é a área da seção transversal que calculamos e
é o módulo de elasticidade do aço (200 GPa).
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para resolver para
:
Mas aqui precisamos saber o comprimento
da parte BC para continuar. Como não foi fornecido, vamos supor que o comprimento total do tubo seja
e que a parte BC seja uma fração desse comprimento. Sem essa informação, não podemos calcular um valor numérico exato, mas podemos deixar a fórmula pronta para quando o comprimento for conhecido.
Passo 6
Assumindo que temos o comprimento
, podemos substituir os valores:
Lembre-se que 1 GPa = 1000 MPa, então convertemos
para MPa. Isso nos dará a força
em Newtons.
Resposta
Para determinar as forças exercidas pelo torno nas posições A e D, usamos a fórmula:
Onde:
-
-
-
-
é o comprimento da parte BC
A mudança de comprimento da porção BC do tubo é de 0,2 mm.