Teste de Hipóteses
Um disparador de partículas realiza o lançamento de partículas idênticas e o tempo com que essas partículas percorrem uma certa distância é normalmente distribuído com média e variância desconhecidas. Com objetivo de estudar propriedades desse disparador, foram lançadas partículas e computado o tempo, em segundos, que cada uma delas levou para percorrer uma distância . Esses dados seguem abaixo:
Denotando por as medições acima, temos: e .
b) Um físico afirmou que o tempo médio necessário para as partículas disparadas percorrerem uma distância , como essa, é de no máximo segundos. Utilizando o conceito de p-valor, verifique se a afirmação do físico será contestada ao nível de significância de .
c) Construa um teste de hipóteses com nível de significância para testar se o quartil dos tempos com que as partículas disparadas percorrem essa distância é igual a contra a alternativa de que ele é diferente de . Qual a conclusão desse teste?
Obs.: Note que é possível relacionar quartis com proporções.
Passo 1
(b)
Primeiro vamos identificar qual o teste de hipótese que vamos fazer.
Vê se você concorda comigo:
Certo? Show... aí a gente faz aquela adaptação né!
Passo 2
Vamos calcular o p-valor...
Considerando que a hipótese seja verdadeira, ou seja, que .
Nossa estatística de teste fica sendo:
Lembrando que fiz a estatística de teste usando e não a Normal, já que não conhecemos o desvio padrão .
Passo 3
P-valor é o menor valor de para o qual rejeitaríamos a hipótese .
Pra gente negar a hipótese , o que precisa acontecer? , certo? Precisamos estar dentro da região de rejeição do teste.
Vamos definir o valor de a partir da tabela ... vamos procurar na linha do (nº de graus de liberdade) pelo valor e vamos ver que ele está entre e ... isso significa que nosso p-valor vai estar entre e .
Como e o é o valor mínimo de para o qual negamos a hipótese ... então com também negamos a hipótese .
Passo 4
(c)
Terceiro quartil é o nosso , tá lembrado? O teste que a gente vai fazer vai levar em conta as duas hipóteses abaixo:
Bom, mas você conhece algum teste de hipótese pra quartil?? Eu não conheço.. então a gente tem que parar e refletir um pouco sobre isso aí...
O que é o ? É aquele valor cuja probabilidade de um valor aleatório estar abaixo dele é de , lembra disso? Então a gente pode relacionar quartil com proporção... terceiro quartil tem uma proporção ...
Desse jeito, a gente pode fazer o seguinte teste...
Passo 5
A primeira coisa que a gente pode calcular é o nosso , proporção amostral...
Olhando pra nossa amostra, qual a proporção de valores menores que ?
Concorda? Tem valores menores que , dentre os valores da amostra.
Passo 6
Esse tipo de teste é aquele primeiro caso que a gente viu né? Igual e diferente...
Pra esses casos, qual a nossa região de rejeição pro teste mesmo?
O exercício nos dá um ... então:
Olhando na tabela da Normal...
Falta a gente calcular o ... estamos tratando de uma proporção amostral, lembra como fica o desvio padrão de uma distribuição assim?
Vou lembrar pra você!
O desvio padrão é a raiz quadrada disso né... então vamos ter:
Passo 7
Daí a gente calcula a região de rejeição e vê se nosso está dentro ou fora dela.
A região de rejeição será:
Daí você percebe que é maior que e menor que ... isso significa que está dentro da região de aceitação.
Conclusão: não podemos rejeitar a hipótese .