Exercícios Resolvidos de P-Valor

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Enunciado

Queremos testar H 0 : p ≥ 0,85 contra H 1 : p < 0,85 em que p é a proporção de peças que atendem as especificações de fábrica. Para isso foi selecionada uma amostra aleatória de 40 peças dessa população, verificando-se que trinta e duas (32) peças na amostra atendem as especificações de fábrica.

a) Qual a decisão a ser tomada ao nível α = 5%? Por que?

b) Qual o p-valor (nível crítico) desse teste?

c) Qual a probabilidade de se cometer o Erro Tipo II, no teste obtido em (a), se a proporção populacional de peças que atendem as especificações de fábrica for p = 0,75?

Passo 1

a) Qual a decisão a ser tomada ao nível α = 5%? Por que?

Cara, estamos num teste de hipótese para proporção!

H 0 : p ≥ 0,85 H 1 : p < 0,85

Queremos descobrir se rejeitamos ou não a hipótese nula, com α = 0,05 .

Vamos primeiro descobrir qual é a nossa região crítica, depois calcular nosso Z 0 e ver se ele está ou não na região crítica.

Como estamos num teste unilateral inferior ( p < 0,85 ), calculamos a região crítica com:

- z 1 - α = - z 0,95 = - 1,65

Logo, qualquer valor menor que - 1,65 cairá na região crítica, o que nos faz rejeitar a hipótese nula!

Passo 2

Como ele pegou uma amostra de tamanho n = 40 , e 32 peças dessa amostra atendem as especificações, temos que:

p ^ = 32 40 = 0,8

Agora vamos calcular nossa estatística de teste, Z 0 .

Estamos num teste de hipótese para proporção, iremos usar:

Z 0 = p ^ - p 0 p 0 ( 1 - p 0 ) n = 0,8 - 0,85 0,85 × 0,15 40 = - 0,8856

Logo:

- 0,8856 > - 1,65

Como nossa estatística de teste é um valor maior do que o valor da região crítica, não rejeitamos a hipótese nula. Logo, podemos afirmar ao nível de significância de 5% que a proporção de peças que atendem as especificações é maior ou igual a 0,85!

Passo 3

b) Qual o p-valor (nível crítico) desse teste?

Como estamos num teste de hipótese unilateral inferior, descobrimos o p-valor através da probabilidade acumulada até o valor da nossa estatística de teste, ou seja:

φ - 0,89 = 1 -   φ 0,89 ≈ 0,1867

Passo 4

c) Qual a probabilidade de se cometer o Erro Tipo II, no teste obtido em (a), se a proporção populacional de peças que atendem as especificações de fábrica for p = 0,75?

Cometer erro do tipo II é aceitar a hipótese nula, quando deveríamos rejeitá-la! Ou seja, a probabilidade de cometermos esse erro é:

P e r r o   I I = P n ã o   r e j e i t a r   H 0 H 0   é   f a l s a = β

Vamos calcular isso então!

Mas antes, para saber quando não rejeitamos H 0 , temos que sabemos qual o ponto crítico que, acima dele, caímos na região de aceitação. Para isso, igualamos a estatística de teste em função de um p ^ c r i t i c o   à fórmula do ponto crítico:

p ^ c r i t i c o - p 0 p 0 ( 1 - p 0 ) n = - 1,65

p ^ c r i t i c o - 0,85 0,85 × 0,15 40 = - 1,65

p ^ c r i t i c o = 0,757

Então agora podemos calcular a probabilidade de erro II, sabendo que não rejeitar a hipótese nula acontece quando a proporção amostral é maior que 0 , , 757 , que é nosso ponto crítico “despadronizado” e real:

β = P p ^ > 0,757 p = 0,75

P p ^ - p 0 p 0 - 1 - p 0 n > 0,757 - 0,75 0,75 × 0,25 40 = P Z > 0,1 = 1 - φ 0,1 ≈ 0,4602

Resposta

a) Não rejeitamos H 0 .

b) 0,1867

c) 0,4602

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