Queremos testar contra em que é a proporção de peças que atendem as especificações de fábrica. Para isso foi selecionada uma amostra aleatória de 40 peças dessa população, verificando-se que trinta e duas (32) peças na amostra atendem as especificações de fábrica.

a) Qual a decisão a ser tomada ao nível α = 5%? Por que?

b) Qual o p-valor (nível crítico) desse teste?

c) Qual a probabilidade de se cometer o Erro Tipo II, no teste obtido em (a), se a proporção populacional de peças que atendem as especificações de fábrica for p = 0,75?

Como ele pegou uma amostra de tamanho , e 32 peças dessa amostra atendem as especificações, temos que:

Agora vamos calcular nossa estatística de teste, .

Estamos num teste de hipótese para proporção, iremos usar:

Logo:

Como nossa estatística de teste é um valor maior do que o valor da região crítica, não rejeitamos a hipótese nula. Logo, podemos afirmar ao nível de significância de 5% que a proporção de peças que atendem as especificações é maior ou igual a 0,85!

b) Qual o p-valor (nível crítico) desse teste?

Como estamos num teste de hipótese unilateral inferior, descobrimos o p-valor através da probabilidade acumulada até o valor da nossa estatística de teste, ou seja:

c) Qual a probabilidade de se cometer o Erro Tipo II, no teste obtido em (a), se a proporção populacional de peças que atendem as especificações de fábrica for p = 0,75?

Cometer erro do tipo II é aceitar a hipótese nula, quando deveríamos rejeitá-la! Ou seja, a probabilidade de cometermos esse erro é:

Vamos calcular isso então!

Mas antes, para saber quando não rejeitamos , temos que sabemos qual o ponto crítico que, acima dele, caímos na região de aceitação. Para isso, igualamos a estatística de teste em função de um à fórmula do ponto crítico:

Então agora podemos calcular a probabilidade de erro II, sabendo que não rejeitar a hipótese nula acontece quando a proporção amostral é maior que , que é nosso ponto crítico “despadronizado” e real: