Exercícios Resolvidos de P-Valor

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Enunciado

Seja μ a média populacional da variável desempenho (em quilômetros por litro de combustível) dos carros de um determinado modelo e suponha que essa variável seja Normalmente distribuída. Foi realizado um teste H 0 :   μ ≤ 10 contra H 1 :   μ > 10 com base numa amostra aleatória de tamanho n = 9 automóveis desse modelo. O p -valor calculado com base nos dados resultou ser igual a 0,10, o que sugere que H 0 seja aceita. Sabe-se também que o coeficiente de variação amostral da variável desempenho foi calculado em 0,3.

  1. Determine os valores da média e do desvio-padrão amostrais da variável desempenho.
  2. Deseja-se agora, usando esses mesmos dados, testar H 0 :   μ ≤ 8 contra H 1 :   μ > 8 . Com base nas tabelas de probabilidade fornecidas, indique o p -valor, identificando os extremos do intervalo de menor amplitude que o contém em seu interior.
  3. Você diria que os dados apontam para a rejeição de H 0 ou para a não rejeição de H 0 do teste realizado no item (b)? Por que?

Passo 1

(a)

Primeiramente, as nossas hipóteses são:

H 0 :     μ ≤ 10

H 1 :   μ > 10

Nesse caso não conhecemos o valor de σ , então a nossa estatística de teste vai ser:

T = x ¯ - μ 0 s n

Com T seguindo uma distribuição t   d e   s t u d e n t com 8 graus de liberdade.

Passo 2

A gente sabe que o valor de corte, limite entre as regiões, para esse caso é:

t 1 - α = t 0,9

Com 8 graus de liberdade, usando a tabela encontramos:

t 0,9 = 1,397

Aí então igualamos a estatística de teste a esse valor:

T = x ¯ - μ 0 s n = 1,397

Onde n = 9 e μ 0 = 10 .

Passo 3

O problema a princípio é que a gente não conhece duas icógnitas ali. Mas tem uma relação que o problema dá: coeficiente de variação amostral.

c v = s x ¯ = 0,3 → s = 0,3 . x ¯

Substituindo esses valores ali em cima:

x ¯ - 10 = 1,397 × 0,3 x ¯ 9

Resolvendo isso você encontra:

x ¯ = 11,62

E:

s = 3,49

Passo 4

(b)

A gente vai passar a ter agora:

H 0 :     μ ≤ 8

H 1 :   μ > 8

E a estatística de teste vai passar a ser:

T = x ¯ - 8 s 9

Com 8 graus de liberdade na distribuição t   d e   s t u d e n t .

Como os valores são os mesmos do item anterior, a gente vai ter:

T = 11,62 - 8 3,49 9 = 3,12

Passo 5

Se você for procurar na tabela de t   d e   s t u d e n t por esse valor, procurando o t correspondente, você vai reparar que esse valor tá entre:

2,896 que corresponde ao valor de ( 1 - α = 0,99 ) e,

3,355 que corresponde ao valor de 1 - α = 0,995

Isso quer dizer que:

0,005 < α ~ < 0,01

Passo 6

(c)

Como o p-valor é bem pequeno, isso nos faz acreditar na rejeição de H 0 .

Resposta

a   x ¯ = 11,62   ,   s = 3,49

b   0,005 < α ~ < 0,01

c   R e j e i ç ã o   d e   H 0

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