Teste de Hipóteses
Suponha uma v.a. Normal com média µ e desvio padrão . Deseja-se fazer um Teste de Hipóteses com versus baseado numa amostra de elementos.
- Fixado o nível de significância , explicite a estatística de teste e o critério de decisão a serem usados.
- Determine a probabilidade do erro tipo II para ;
- Se para esta amostra com elementos foi observado , calcule o p-valor. Que decisão deve ser tomada neste caso?
- Repita o que foi pedido no item (a), supondo agora que é desconhecido.
Passo 1
(a)
Nosso teste é:
Como a gente conhece o desvio padrão , então nossa estatística de teste é aquela que usa a Normal.
Com .
Passo 2
Pra determinar o critério de decisão a gente tem que indicar qual a região de aceitação e a de rejeição.
Esse teste é daquele bilateral, que a região de rejeição é:
Com isso fica:
E esses valores de são iguais (já que e são complementares) só que com sinais contrários.
Usando a tabela da Normal.
E assim:
Daí a região crítica fica sendo:
Passo 3
Pra fechar a gente pode colocar isso em função de ...
A gente pega a estatística de teste:
E iguala aos valores limites da região de rejeição, pra obter a região em função de .
Daí a gente sabe que a região de rejeição do teste é:
E claro, aceitação será:
Passo 4
(b)
Erro do tipo II é quando aceitamos , sendo que é falsa.
De fato, quando a hipótese é falsa, concorda? Já que diz que .
Daí a gente precisa então calcular a prob. da gente aceitar , mesmo ela sendo falsa.
Pra gente aceitar , a média tem que estar dentro da região de aceitação...
Show?
Passo 5
A gente sabe que e que nesse caso , e sabe que a média tem distribuição Normal:
Vamos padronizar isso aí.
Daí a gente aplica nossos conhecimentos da Normal...
Inverte o sinal de negativo dali de dentro...
Usando a tabela:
Juntando:
Passo 6
(c)
A gente volta a ter e agora conhecemos .
é o menor valor de para o qual continuamos a rejeitar a .
Obs: dá pra notar que o p-valor vai ser maior que , né? Porque pra esse valor de o nosso fica dentro da região de aceitação, e não da de rejeição.
Mas esquece isso, só uma observação, vamos voltar pro exercício.
Primeiro calculamos a nossa estatística de teste para .
Show?
Passo 7
Agora pensa comigo... nosso teste é bilateral e tem duas regiões de rejeição que são:
Como p-valor é o menor valor possível pra pra gente continuar rejeitando , então a nossa estatística de teste tem que estar exatamente no limite entre as regiões de aceitação e rejeição... desse jeito calculamos o menor possível.
Então nossa região de rejeição será:
Passo 8
Vamos calcular então a probabilidade disso acontecer...
Aí é só usar os conceitos da Normal (precisam estar automáticos já ein).
Daí...
Só que .
Usando a tabela...
Finalizando:
Passo 9
(d)
Tá ligado no que vai mudar agora que a gente não conhece o ? Ao invés de usar a Normal, a gente tem que usar .
Nossa estatística de teste passa a ser:
A região de rejeição é:
E a de aceitação é:
Passo 10
Pra usar a tabela precisamos do número de graus de liberdade também, que é igual a ... como então teremos graus de liberdade.
Daí (com )...
E .
Desse jeito, o critério de decisão é...
Aceitar se:
Caso contrário, rejeitamos .