Exercícios Resolvidos de P-Valor

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Enunciado

Suponha que os tempos de vida, em horas, de certos semicondutores a laser sejam Normalmente distribuidos com média μ e variância σ 2 .

Para testar H 0 :     μ   ≤ 7000 versus H 1 :   μ   > 7000 , uma amostra aleatória de tamanho 25 foi

observada e apresentou os seguintes resultados:

∑ x i = 179500 , ∑ x i - x - 2 = 8640000 .

  1. Qual a sua conclusão, ao nível de significância de 1%?
  2. Determine o menor intervalo no qual você sabe que o p -valor associado aos dados obtidos se encontra.
  3. Com base no intervalo obtido no item (b), diga qual seria sua decisão se o nível de significância fosse de 5%. E se fosse 10%?

Passo 1

(a)

Nessa opção a gente vai ter que fazer o teste de hipótese pra esse caso aí com α = 0,01 .

Repara que nesse caso a gente não conhece o valor de σ então teremos algumas diferenças na conta.

Inicialmente, a gente tem:

H 0 :   μ ≤ 7000

H 1 :   μ > 7000

A nossa estatística de teste vai ser diferente né, porque não temos σ :

T = x ¯ - μ 0 s n

E vamos usar a distribuição t   d e   s t u d e n t com 24 graus de liberdade, já que n = 25 .

Passo 2

Nesse caso, a região de rejeição vai ser definida por:

T o b s > t 1 - α

T o b s > t 0,99

Sabendo que são 24 graus de liberdade, usando a tabela de t   d e   s t u d e n t :

T o b s > 2,492

Passo 3

Só que pra calcular o nosso T o b s a gente tem que calcular x ¯ e s , usando os dados do exercício e as fórmulas que a gente já conhece.

Como tempo é uma coisa escassa, vou colocar os resultados aqui direto:

x ¯ = 7180

s = 600

Agora podemos calcular o T o b s :

T o b s = x ¯ - μ 0 s n

T o b s = 7180 - 7000 600 25 = 1,5

Como 1,5 < 2,492 , então estamos dentro da região de aceitação de H 0 .

Passo 4

(b)

A gente sabe que o p-valor nesse caso é a seguinte probabilidade:

P T o b s > 1,5

Se você for olhar na tabela do t   d e   s t u d e n t , com 24 graus de liberdade, você vai encontrar:

P T < 1,318 = 0,9             e             P T < 1,711 = 0,95

Isso quer dizer que:

P T > 1,318 = 0,1             e             P T > 1,711 = 0,05

O intervalo então é:

0,05 < p . v a l o r < 0,1

Passo 5

(c)

A gente sabe que p-valor é o menor valor de α para o qual ainda rejeitamos H 0 .

Como 0,05 tá fora do intervalo do p-valor e é menor que o p-valor, se α = 0,05 ainda aceitaríamos H 0 .

Já o 0,1 está fora do intervalo também, porém ele é maior que α e como α é o menor valor que gera rejeição, todos os valores maiores que ele também gerariam. Isso quer dizer que se α = 0,1 rejeitaríamos H 0 .

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

b   0,05 < p . v a l o r < 0,1

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