Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo 1

Fala aí pessoal. Tudo certinho com vocês?

Bom o primeiro passo para resolver uma questão é sempre entender o que ela está pedindo, certo?

Aqui temos uma integral dupla, o que significa que ela será calculada sobre duas variáveis diferentes, a e a . Mas o que o enunciado quer é que a gente diga como é a região de integração. Então, o que temos que analisar são os limites de integração de e de que estão na integral dada.

Bora começar olhando o intervalo de integração que temos para , ou seja, o intervalo da integral de fora:

Com a separação das integrais, vemos que a que ficou na parte de fora dos colchetes está sendo calculado com o , então, assim podemos identificar os limites de integração em que são:

Como o enunciado pediu pra gente determinar no plano o esboço dessa região, já vamos delimitar lá no plano os valores de , que acabamos de identificar.

Agora já sabemos que no gráfico a região vai ficar entre essas duas retas fica assim:

Agora vamos olhar para os limites em , ou seja, a integral de dentro:

Veja que os limites indicam que nosso estão entre as curvas:

Isso quer dizer que temos as curvas e limitando nossa região. A primeira é uma parábola com concavidade para cima e que passa pela origem:

Agora vamos ver a outra curva, .

Como temos de um lado e do outro, sabemos que também é uma parábola, mas repare no sinal negativo de . Isso significa que a concavidade da parábola está voltada para baixo.

E mais: temos esse termo , que significa que ela está deslocada de alguma forma. Vamos calcular suas raízes para entender melhor como ficará esse gráfico, beleza?

Aqui podemos isolar o colocando ele em evidência:

Isso ajuda a gente a resolver mais rápido, pois temos uma multiplicação de por dando zero. Isso só pode acontecer se um deles for zero. Então, temos duas possibilidades

Ou,

Com as nossas duas soluções:

Essas soluções dizem pra gente onde a nossa parábola vai cortar o eixo .

Temos que ela passa, então, pelos pontos e . Vamos desenhar isso aqui:

Show de bola, temos tudo desenhado, agora vamos identificar a região de integração, lembrando que:

E

Vamos pintar a região que fica limitada por essas curvas:

E essa é nossa região de integração. Show!!

Calma calma calma, antes de tudo vamos fazer um esboço para entender melhor o que está sendo pedido! Como as duas parábolas têm o coeficiente do termo positivos, elas estão viradas para cima. Fazendo , descobriremos suas raízes.

Então vamos lá, começando com a

Isso significa que nossa parábola toca o eixo quando .

Agora vamos olhar para , fazendo:

Opa! Isso aí não vai rolar porque não podemos tirar a raiz real de um número negativo. Isso significa que a segunda parábola não possui raízes reais, portanto, não corta o eixo , beleza? Ela está acima do eixo.

Pra desenharmos ela, vamos lembrar que ela é muito parecida com a parábola . A diferença é que ela tem o . Então, pra desenharmos ela, nós desenhamos a e subimos uma unidade no eixo . Certo?

Agora que já descobrimos nossas duas parábolas, vamos colocar elas juntas em um gráfico. E vai ficar assim:

Perceba que as duas parábolas formaram uma região limitada por elas. Essa será a região de integração.

Como essa região está limitada em por duas funções (a parábola vermelha e a azul), em precisamos que ela esteja limitada por 2 números, para podermos escrevê-la como uma região do tipo I!

Já temos , sendo:

Para descobrir o intervalo em , devemos fazer e interseção entre as equações das parábolas e , ou seja, precisamos iguala-las. Assim descobriremos em que valores de a região começa e termina.

Fazendo

Jogando pro lado de cá da equação:

Tirando a raiz, teremos:

Assim, descobrimos que varia entre e (onde as curvas se encontram). Podemos, então, escrever a região como:

Vamos, então, substituir em nossa integral os valores que acabamos de encontrar para o domínio, beleza?

Mas cuidado com a ordem de integração! Lembre-se de que a variável que está variando entre funções fica na integral de dentro (no caso o , enquanto a variável que possui limites com números ficam na de fora (no caso o . Da seguinte forma:

Agora vamos integrar em relação a (integral de dentro):

Podemos simplificar o no segundo termos da solução da integral de dentro, ficando com:

Substituindo os limites de integração na variável , teremos:

Aqui vamos ajeitar um pouco, fazendo as multiplicações:

O sinal de menos na frente do parênteses faz com que os sinais dos termos que estão lá dentro sejam alterados:

Finalmente reduzimos os temos semelhantes ficando com:

Está na hora, então, de integrar em relação a :

Substituindo os limites de integração ficaremos com:

Aqui vamos tirar os parênteses e consertar os sinais:

Veja que temos algumas parcelas que se cancelam:

Juntamos os números que tem o mesmo denominador:

E agora tiramos o m.m.c.

Prontinho, e depois de tudo isso chegamos a nossa resposta!

Oie. Enunciado esquisito né? Mas vamos no passo a passo.

Pela definição de cálculo de massa por integrais duplas, podemos achar a massa de uma lâmina fazendo a seguinte integral:

Portanto, para resolver esse problema, a primeira coisa que vamos precisar é determinar os limites de integração da nossa região ! Depois é só jogar na integral, beleza? Vamos ver como!

O exercício diz que a nossa região é um triângulo com os vértices certo? Com essa informação vamos ter que achar as retas associadas a esses pontos. No gráfico fica assim:

Perceba também que, quando ele fala que a densidade é igual a distância de cada ponto P ao eixo , o que ele está nos falando é que a densidade será igual a coordenada de desses pontos. Isso porque é essa coordenada que dá exatamente a distância do ponto ao eixo .

Ficou confuso? Olha esse exemplo:

Então, a densidade será escrita como:

Então, no final das contas, quem a gente realmente quer calcular é:

Agora que está tudo mais claro, vamos desenvolver o nosso problema. No nosso gráfico temos três retas delimitando a região , duas são mais fáceis de visualizar:

A terceira dá para descobrir qual é! Sabemos que ela passa pelos pontos e , né? Então é vamos usar a equação de reta:

Como temos dois ponto, vamos substituir cada um deles na equação da reta e assim vamos encontrar os coeficientes e .

No ponto (0,0):

No ponto (3,5):

Logo, substituindo e na equação original:

Vendo o gráfico pelo tipo I, concluímos que os limites de integração são:

Substituindo os valores calculados na integral temos:

Resolvendo a integral, começamos pela integral de dentro:

Substituindo os limites de integração:

Agora vamos resolver a integral que sobrou:

E assim encontramos a massa total da lâmina.

Falaa aí! Tudo certinho? Espero que sim porque vamos seguir com nosso estudo para ficar fera nessas integrais duplas do tipo 1!! 😊

Pra nossa sorte, a questão está pedindo pra gente simplesmente escrever a integral como uma integral do tipo 1, e não resolvê-la.

Então vamos lá. Precisamos lembrar que para escrever como uma integral do tipo 1, queremos o variando entre constantes, enquanto o varia entre funções, certo?

Bom, para isso então, vamos precisar separar em duas regiões:

Temos à direita a região destacada laranja e a região à esquerda destacada de rosa. Precisamos fazer isso porque a função que está na parte de baixo da região muda exatamente no ponto com .

E quando fazemos isso, estamos matematicamente ajeitando nossa integral desse jeitinho aqui:

Vamos começar vendo nossa região rosa!

Se você for observar, podemos escrever que varia na região rosa de

Já para , temos que ela está variando desde a curva de baixo (que é a curva até a curva de cima (que é a curva .

Então nossa integral da curva rosa pode ser escrita assim:

Então vamos achar quem são essas funções e em relação a

Para temos essa equação dada no enunciado:

Isolando , temos

Tirando a raiz quadrada dos dois lados temos

(só vamos usar a parte positiva porque é a parte superior da nossa circunferência A)

Fazendo a mesma coisa para , temos que

Então, achamos nossos limites! Nossa integral fica assim:

Agora para região laranja temos isso aqui

Se você for observar, podemos escrever que varia na região laranja de

Quanto à variação de , observamos que na região laranja vai de C até A.

Da mesma maneira que encontramos a função de , vamos fazer para :

Isolando

Tirando a raiz quadrada temos

(Maaaas se liga, como é a parte inferior da nossa circunferência C só vamos usar a parte negativa)

Então ficamos com:

Escrevendo a integral então ficamos:

Agora que já achamos as integrais das nossas duas áreas, vamos somá-las, lembrando que:

Então temos isso aqui:

Ufaaa! Prontinho, pessoal. Como o enunciado diz só para reescrever, não precisamos calcular (ainda bem né? Kk)

Opa, fala ai! Vamos continuar com nossos exercícios!

Deveríamos começar a questão pela integral de dentro, mas ela não parece muito simples em primeiro momento.

Vamos, então, tentar mudar essa ordem de integração para ver se a integral fica mais fácil. Mas não podemos apenas inverter as letrinhas ali não viu! Vamos com calma.

Primeiro, vamos esboçar a região em questão. Temos variando de a e entre e . Você não sabe desenhar a curva ?

Faça assim: substitua e na equação e encontre os valores correspondentes de (teremos e ).

Seu gráfico não precisa ficar perfeito, só precisamos saber que a região de integração tem essa cara:

Agora vamos reescrever essa região como tipo I, lembrando que quando escrevemos a região do tipo I a gente quer que varie entre constantes e varie entre funções de .

Pelo próprio gráfico, vemos que varia entre e , portanto .

Já o valor de varia entre e a curva vermelha, vamos escrevê-la em função de (isolando o ):

Elevando os dois lados ao cubo, temos

E isso nos dá:

E assim nossa região de integração será:

Podemos, então, reescrever a integral da seguinte forma:

Nossa, bem mais tranquilo né? 😊

Vamos, agora, partir pra cima dessa integral!

Começando pela integral de dentro

Olhando só pra ela, temos:

Como estamos integrando isso em relação a , essa raiz funciona como uma constante e pode ser jogada pra fora da integral, ficando com

Agora podemos integrar, e isso nos dá:

Então nossa integral de dentro é

Vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora, ficando com

Para resolver essa integral, não se assuste! Vamos usar o nosso método de substituição simples e vamos falar que:

Derivando dos dois lados, temos que

Então ficamos com

Simplificando isso temos

Agora, para não termos que ficar indo e voltando com a substituições, podemos acertar os limites de integração para ficar em função de

Temos que quando (nosso limite inferior)

E quando (nosso limite superior)

Então nossa integral passa a ser:

Podemos tirar o da integral por ser uma constante, e ficamos com

Aqui vamos lembrar que . Integrando em relação a , temos:

Substituindo os limites temos:

Que nos dá

E encontramos o resultado da nossa integral.

Oi, tudo bem? Vamos lá para mais um exercício!

a) Problema bem objetivo: pegue a definição de e a desenhe!

Como é função de , nesse primeiro momento, vamos trocar as desigualdades por igualdades.

Assim, temos que está entre as curvas e , certo? Então, só precisamos esboçar cada uma delas!

Se está entre e , vamos percorrer essa faixa de valores colocando na curva . Tá, e que curva é essa?

Bom, como o está no expoente, basta fazer algo que comece crescendo devagar, e dispare à medida que cresce ;)

E o gráfico vai ficar com essa carinha aqui:

Show, agora temos que fazer para , beleza? Basta desenhar uma curva simétrica à do passo anterior em relação ao eixo , pois, para os mesmos valores de , teremos negativo:

Lembrando que essas curvas param quando atinge valor !

Tranquilo até agora?

E, para fechar a curva, basta colocar dois segmentos de reta, um para fechar em e outro em !

E esse é o contorno de ! Agora, temos que colocar as desigualdades de volta!

Pense no seguinte: Se estamos na curva de cima, temos que , então a região estará a baixo da curva (valores de menores que os valores da curva).

E, estando na curva de baixo, temos , então a região estará acima da curva (valores maiores que a curva).

Assim, é a curva que traçamos aí em cima, mais o interior dela! Essa dica ajuda muito na hora de ver regiões mais estranhas de integração ;)

Agora, o problema ainda pede pra tirarmos a fronteira de , ou seja, temos que esboçar apenas seu interior, certo? Então, só preencher, lembrando de excluir o contorno. E nossa região será representada por:

b) Agora é hora de escrever a integral, vamos lá!

Temos variando entre e , e variando entre as duas funções de , e . Assim, colocando primeiro em relação a e depois a (como deve ser, porque é função de !), temos:

Tranquilinho né? Hehe espero que sim!

Opaaa, fala ai!! Vamos continuar nossos estudos para ficar fera na matéria!

Para resolver essa integral, precisamos saber os limites de integração! Para isso, vamos dar uma olhada na região ?

As desigualdades nos dizem que e são maiores ou iguais a , e que , ou seja, é menor ou igual a reta . Juntando tudo temos:

Para interpretar essas desigualdades é legal colocar o dedo sobre a curva e ver o que temos: colocando o dedo sobre a reta , deve ser menor do que ela, então andamos para baixo dela! E, como e são maiores ou iguais a , estamos em cima de e a direita de ;)

Agora, podemos ver os limites de integração da integral dupla!

Como a reta , pode ser escrita como , temos que é função de , logo, devemos integrar antes em relação a . Além disso, vemos que Como quando temos (vértice direito do triângulo), temos que . Colocando esses limites na integral, fica:

Pronto! Agora só precisamos resolver a integral ;) E o que temos é:

Vamos começar com a integral de dentro, em relação a :

Vamos fazer uma substituição simples

Trocando o para na nossa expressão inicial, temos

Substituindo os limites de integração na variável que acabamos de integrar, ficamos com

Como nossos expoentes são negativos, não podemos fazer as contas com eles assim, então vamos jogar eles pra baixo pra deixá-los positivos. O que nos dá:

Show, agora vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora!

Agora vamos separar em duas integrais

Pra resolvermos a segunda integral precisaremos fazer uma substituição simples. Então, vamos chamar e vamos ter que

Integrando, teremos:

Lembrando que , ficamos com:

Substituindo os valores dos limites na expressão, temos:

Aqui vamos tirar o m.m.c., pois precisamos que os denominadores sejam iguais:

Agora sim. Somando tudo, temos:

Pronto! Integral resolvida!

Opa, vamos lá.

Pra facilitar a vida da gente, é legal a gente começar entendendo que região é essa que estamos trabalhando, pra isso nós desenhamos os gráficos de cada curva dada pelo enunciado.

Em azul temos em vermelho temos e em verde!

Bom, só com isso a gente já tá com um bom caminho andando! Agora vamos descrever essa região que a gente tá vendo. Se você for observador, nosso varia de zero até ,

e nosso varia de zero até a função que está em cima, que é .

Show, então vamos escrever isso na integral.

Nosso passo 2 agora vai ser escrever o que a gente observou. Como vamos ficar?

Lembrando de colocar a variável que está limitada por funções pra ser a integral de dentro (no caso o ), e a variável que está variando entre números pra ser a integral de fora (no caso o ).

Por último, mas não menos importante, vamos resolver essa parada, depois é só correr pra o abraço. A nossa integral é

Começando pela integral de dentro, temos que

Vamos ter que fazer uma substituição simples, fazendo isso aqui

Derivando em relação a , temos

Então ficamos com

Podemos simplificar a , ficando com

Agora fica mais fácil de integral. Integrando isso daí, temos:

Voltando para , ficamos com:

Substituindo os limites de integração, temos:

O que nos dá:

E isso fica