Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

Vamos começar essa questão desmembrando a integral utilizando o Teorema de Fubini. Então,

Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com e o da de dentro, com . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo:

Você encontrará o mesmo valor! Nesse exercício, vamos optar pela 1ª opção, beleza?

Agora devemos integrar em relação a ou seja, resolver a integral de dentro (tomando como constante).

Como é constante,

Devemos agora, então, integrar em relação a , substituindo o valor que encontramos no passo anterior.

Colocando as constantes para fora:

Fala aiii, tudo bem? Aqui mós vamos integrar primiero em relação a e depois a , beleza? Então vamos lá!

Vamos começar integrando em relação a :

Como fizemos primeiro sem intervalo de integração, adicionamos a constante no final, mas o valor dela não vai ser importante.

Substituindo os limties de integração:

Agora colocamos isso na integral dupla do enunciado:

Com isso só nos resta calcular uma última integral:

Primeiro tiramos a constante:

Quando nós fazemos a integral de uma soma, a gente pode usar essa propriedade aqui:

E isso também vale para as integrais duplas! Então, no nosso caso:

Beleza, agora ficamos com duas integrais bem mais simples de calcular. \o/

Vamos começar calculando a primeira:

Temos que:

Então,

E agora é só integrar o :

Agora vamos para a segunda integral:

Quando integramos em relação a , o é uma constante, então vamos começar só integrando o quando vai de até , ou seja,

A integral de em relação a é , ou seja,

Agora é só somar os resultados das duas integrais:

Faaaaaaaaaaala aí, tranquilo? Vamos seguir com nosso estudo em integrais duplas uhul

A primeira coisa a entender direitinho é esse retângulo

Ele deu dois intervalos, o primeiro em e o segundo em , a ordem é sempre essa não esqueça disso. Então temos que:

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:

Agora, vamos calcular a integral de dentro em relação a (lembre-se, tome como constante!)

Vamos focar só nessa integral entre colchetes, por enquanto:

Pra resolver essa integral vamos separar em 2 integrais, lembrando que como tudo que não é aqui pode ser considerado constante, vamos ter que

Show! Agora vamos resolver essas integrais mais tranquilinhas aí

Então ficamos com

Aí temos isso aqui, lembrando que

O nosso primeiro termo vai ficar multiplicado por zero e o segundo vamos fazer a distributiva e ficamos com

Agora vamos pegar esse resultado e colocar na nossa integral de fora, e ficamos com essa integral aqui:

Podemos separar em duas integrais, lembrando que é uma constante como qualquer outro número, então temos isso aqui

Aí integrando isso daí temos

Substituindo isso, temos

Ficamos com

Agora vamos ajeitar isso daí, com essa dica aqui

Então ficamos que nossa integral dupla vale

Como a gente tem que nos dois termos da soma, podemos colocar ele em evidência, ficando com:

Opa, turubom??

Vamos começar escrevendo essa região, ok? Para isso, vamos dividí-la em partes:

Chamando o retângulo verde de , o amarelo de e o azul de , temos que a integral da área que a gente quer, é a soma dessas três áreas coloridas!

Agora, vamos encontrar os inter valos de cada integral, de acordo com a imagem.

Para o retângulo verde, temos:

Para o amarelo:

Para o azul:

Aplicando o Teorema de Fubini, temos:

Repare que a ordem dos intervalos está de acordo com a ordem dos diferenciais!

Agora, vamos começar resolvendo a integral de :

Vamos começar fazendo a integral de dentro, essa daqui

Nesse caso, pode ser considerado como constante, então temos

Então essa integralzinha fica

Que dá zero 😊

Passando isso para integral de fora, temos

E a integral de zero é

Vamos guardar esse resultado que mais tarde a gente vai usar ele hehe

Calcular a integral de :

Vamos começar fazendo a integral de dentro, essa daqui

Nesse caso, pode ser considerado como constante, então temos

Então essa integralzinha fica a mesma da anterior, mas com outros limites de integração

Então vamos pegar esse e colocar na integral de fora! Fazendo isso ai, temos:

E essa nossa integral fica

Substituindo esses valores em temos

Que, podemos cortar os e simplificar em:

Então temos:

Vamos segurar esse resultado também!

Calcular a integral de :

Vamos começar fazendo a integral de dentro, essa daqui

Nesse caso, pode ser considerado como constante, então temos

Então essa integralzinha fica a mesma da anterior, mas com outros limites de integração

Então vamos pegar esse e colocar na integral de fora! Fazendo isso ai, temos:

E essa nossa integral fica

Substituindo esses valores em temos

Que, podemos cortar os e simplificar em:

Então temos:

Vamos segurar esse resultado também!

Ufaaa! Terminamos essas mini áreas, mas lembra laaa do começo que:

E achamos nos passos anteriores que

Então nossa integral de fica:

Opa, belezinha? Vamos continuar com as nossas integrais duplas 😊

Como ela já está montada, a gente vai começar resolvendo de dentro pra fora, assim:

Vamos calcular a integral de dentro em relação a (lembre-se, tome como constante!)

Vamos focar só nessa integral entre colchetes, por enquanto:

Pra resolver essa integral vamos separar em 2 integrais, lembrando que como tudo que não é aqui pode ser considerado constante, vamos ter que:

Integrando isso daí, ficamos com

Vamos substituir esses valores onde temos

Então temos isso aqui

Aí chegamos no nosso resultado da primeira integral, tendo isso aqui

Agora vamos pegar esse resultado que a gente achou e colocar na integral de fora

E estamos integrando agora em relação a , vamos separar essa integral em duas também e colocar as constantes para fora 😊

Agora substituindo os valores dos limites onde temos , ficamos com

Agora, vamos lembrar rapidinho como a gente faz essa potenciação! Vou dar um exemplo aqui e a gente vai usar isso pras outras potenciações!

Então ficamos com

Fazendo essas substrações temos

Agora fazendo essas multiplicações ai, temos que

Como a gente tem duas frações com o mesmo denominador, podemos somar os numeradores, e ai ficamos com

Então temos que

Faaala aí, tudo certinho? Vamos seguir com nossos estudos!

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente começa separando elas em duas integrais, a de dentro e a de fora:

A gente começa resolvendo a integral de dentro, como uma integral simples e depois pegamos o resultado e colocamos na integral de fora, belezinha?

Então vamo lá!! Vamos começar olhando a integral de dentro só, que é essa daqui

Podemos ver que estamos integrando em relação a ! Então tudo que não for pode ser considerado como constante! Podemos separar em duas integrais e jogar as constantes que estão multiplicando pra fora, para ficar mais fácil de ver!

Ficamos com:

Isso nos dá

Substituindo pelos limites que temos, ficamos com

Fazendo umas simplificações, temos

Aaaaaa, beleza! Vamos seguir agora pegando esse resultado e aplicando na integral de fora!

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

Integrando isso daí, ficamos com:

Simplificando ficamos com:

Agora, substituindo os valores temos:

Beleza?

Opaaa, fala aí! Vamo que vamo nos nossos estudos de integrais para ficar fera!

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

Ficando com duas integrais simples, a de dentro, que vamos resolver como uma integral simples e depois pegar o resultado que achamos e colocar na integral de fora

Vamos começar então com a integral de dentro, em relação a

Lembre-se de que, quando estamos integrando em relação a , podemos tratar como uma constante.

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples:

Agora substituindo isso na integral, temos isso aqui

Isso nos dá

Agora, voltando pra nossa expressão inicial, temos

Isso nos da

Agora que já resolvemos a integral de dentro, vamos pegar esse resultado e colocar na nossa integral de fora!! Ficamos com isso aqui:

Vamos separar em duas integrais, galerinha!

Na primeira integral, vamos fazer uma substituição simples, que vai nos da

Como a gente já fez antes, vamos integrar isso dai e voltar para nossa expressão inicial, ficando com

Podemos jogar esse dividindo, para fora! Multiplicando com temos

Substituindo os valores, temos:

Agora vamos ajeitar isso dai!

Usando a nossa melhor amiga, calculadora, temos que:

Simplificando esse monstrinho temos:

Ficou bem feinho mas é isso ai hehe!

Opa, tudo bom? Vamo que vamo pro nosso exercício!

Bom, aqui a questão é bem direta né, precisamos calcular a integral dupla dessa função e o enunciado já nos deu os limites de integração.

Precisamos tomar cuidado aqui de aplicar os limites de em e os de em .

Como assim?

Olha só aqui, se quisermos integrar primeiro em , ou seja , a integral fica assim

Viu que a integral de fora está com os limites de e a integral de dentro com os limites de , né?

Agora se quisermos integrar primeiro em , com , como fica?

Vamos ver nessa questão aqui que é mais fácil integrar primeiro em por causa desse termo , vamos fazer isso então:

Vamos separar a integral em duas pra ficar mais fácil

Vamos começar olhando a primeira integral dupla!

Vamos começar olhando só a integral de dentro

Como estamos integrando em relação a temos isso aqui:

Isso da

Agora vamos pegar isso e aplicar na integral de fora!

Integrando em relação a

Show, achamos a primeira integral mas ainda falta a segunda!

Vamos pra segunda agora

Pra integrar isso aí vamos fazer uma substituição simples

Derivando em relação a

Vamos precisar substituir os limites também, olha só

Voltando pra integral, olha como aparecem todos esses termos aí

Agora sim podemos integrar isso aí

Substituindo os valores dos limites, temos:

Integrando em relação a