Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 , quantos números de 4 algarismos com pelo menos dois algarismos iguais existem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de combinatória juntos! A gente precisa descobrir quantos números de 4 algarismos, usando os dígitos de 1 a 9, têm pelo menos dois algarismos iguais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre contagem e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o total de números de 4 algarismos que podemos formar usando os dígitos de 1 a 9. Cada posição do número (milhar, centena, dezena e unidade) pode ser ocupada por qualquer um dos 9 dígitos.
Então, o total de combinações possíveis é:
9 times 9 times 9 times 9 = 9^4 = 6561
Isso significa que existem 6561 números de 4 algarismos possíveis usando os dígitos de 1 a 9.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantos desses números têm todos os algarismos diferentes. Para isso:
  • Primeiro algarismo (milhar): Pode ser qualquer um dos 9 dígitos.
  • Segundo algarismo (centena): Não pode repetir o primeiro, então ficam 8 opções.
  • Terceiro algarismo (dezena): Não pode repetir os dois anteriores, sobrando 7 opções.
  • Quarto algarismo (unidade): Não pode repetir nenhum dos três anteriores, restando 6 opções.
Multiplicando tudo:
9 times 8 times 7 times 6 = 3024
Então, há 3024 números de 4 algarismos com todos os dígitos diferentes.

Passo 4

Para encontrar quantos números têm pelo menos dois algarismos iguais, a gente pode subtrair do total de combinações os números que têm todos os algarismos diferentes.
6561 (total) - 3024 (todos diferentes) = 3537

Resposta

Existem 3537 números de 4 algarismos com pelo menos dois algarismos iguais.

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