Uma empresa fabrica dois produtos, e B. O volume de vendas de é de no mínimo do total de vendas de ambos ( e B). Contudo, a empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é de 240 lb . As taxas de utilização da matéria prima são 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de . Os lucros unitários de e são e $50, respectivamente. Determine o mix de produtos ótimo para a empresa.

Passo 1

Neste exercício, vamos descobrir qual a melhor combinação de produtos A e B que uma empresa deve fabricar para maximizar seus lucros. Para isso, vamos usar conceitos de programação linear, onde analisamos restrições e buscamos alcançar o melhor resultado possível dentro dessas limitações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
  • : número de unidades do produto A fabricadas por dia.
  • : número de unidades do produto B fabricadas por dia.

Passo 3

A função objetivo representa o lucro total que queremos maximizar. Sabemos que:
  • O lucro por unidade de A é $20.
  • O lucro por unidade de B é $50.
Então, a função objetivo é:

Passo 4

Agora, vamos identificar as restrições do problema:
  1. Disponibilidade de matéria-prima:
    • Cada unidade de A usa 2 lb de matéria-prima.
    • Cada unidade de B usa 4 lb de matéria-prima.
    • A disponibilidade máxima diária é de 240 lb.
    Portanto:
  2. Vendas mínimas de A:
    • O volume de vendas de A deve ser pelo menos 80% do total de vendas de A e B.
    Isso pode ser expresso como:
    Simplificando:
  3. Limite máximo de vendas de A:
    • A empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia.
    Assim:
  4. Não negatividade:
    • Não faz sentido produzir uma quantidade negativa de produtos.
    Então:

Passo 5

Com todas as restrições definidas, temos o seguinte sistema:

Passo 6

Para encontrar a combinação ótima de A e B, vamos representar graficamente as restrições e identificar a região viável. Os pontos onde as restrições se encontram são chamados de vértices, e a solução ótima estará em um desses vértices.
Primeiro, vamos resolver as equações das restrições para :

Passo 7

Encontramos os pontos de interseção:
  1. Interseção de e :
    Substituindo na primeira equação:
    Ponto:
  2. Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação:
    Ponto:
  3. Interseção de e :
    Substituindo na primeira equação:
    Ponto:

Passo 8

Os vértices da região viável são:

Passo 9

Vamos calcular o lucro em cada ponto para identificar qual deles é o mais vantajoso:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O mix de produtos ótimo para a empresa é produzir 100 unidades de A e 25 unidades de B por dia, resultando em um lucro máximo de $3250.

Exercícios relacionados

Selecione um neurotransmissor aminérgico e descreva sua ação.
Como ocorre a síntese, o armazenamento e a liberação de neurotransmissores?
Um trem tem dois compartimentos de carga: um dianteiro e um traseiro. O compartimento de carga dianteiro tem uma capacidade de peso de 75.000 kg , e uma capacidade de volume de . O compartimento traseiro tem uma capacidade de peso de 80.000 kg , e uma capacidade de volume de . A empresa dona do trem foi contratada para levar cargas de arroz e feijão empacotados. O peso total da carga de arroz disponivel é de 85.000 kg; o peso total da carga de feijão disponivel é de 100.000 kg . O volume por massa de arroz é de por quilo, e o volume da massa de feijão é de por quilo. Por uma questão técnica, o compartimento traseiro deve ter uma carga (em peso) no mínimo superior ao dianteiro. O lucro para transportar arroz é de por quilo, e o lucro para transportar feijão é de por quilo. A empresa dona do trem é livre para aceitar toda ou parte da carga disponivel. Ela quer saber quantos quilos de arroz e de feijão deve transportar para maximizar o lucro.
A Óleos Unidos SA é uma empresa do ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais com base em uma mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somados à quantidade de litros de solvente utilizada na fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível fabricado. A proporção da mistura está descrita na tabela a seguir:
Combustivel Combustível Combustível
Extrato Mineral 8 litros 5 litros 4 litros
Solvente 5 litros 4 litros 2 litros
Suponha que a Óleos Unidos SA tenha disponivel diariamente 120 litros de extrato mineral e 200 litros de solvente. Por uma característica técnica, o solvente evapora com muita facilidade e, para viabilizar os custos da empresa, pelo menos de seu estoque deve ser utilizado no mesmo dia. Os lucros líquidos esperados pelos três combustiveis são de e , respectivamente. Dê uma solução que maximize o lucro da Óleos Unidos SA.