Uma empresa fabrica dois produtos, e B. O volume de vendas de é de no mínimo do total de vendas de ambos ( e B). Contudo, a empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é de 240 lb . As taxas de utilização da matéria prima são 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de . Os lucros unitários de e são e $50, respectivamente. Determine o mix de produtos ótimo para a empresa.
Passo 1
Neste exercício, vamos descobrir qual a melhor combinação de produtos A e B que uma empresa deve fabricar para maximizar seus lucros. Para isso, vamos usar conceitos de programação linear, onde analisamos restrições e buscamos alcançar o melhor resultado possível dentro dessas limitações.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
: número de unidades do produto A fabricadas por dia.
: número de unidades do produto B fabricadas por dia.
Passo 3
A função objetivo representa o lucro total que queremos maximizar. Sabemos que:
O lucro por unidade de A é $20.
O lucro por unidade de B é $50.
Então, a função objetivo é:
Passo 4
Agora, vamos identificar as restrições do problema:
Disponibilidade de matéria-prima:
Cada unidade de A usa 2 lb de matéria-prima.
Cada unidade de B usa 4 lb de matéria-prima.
A disponibilidade máxima diária é de 240 lb.
Portanto:
Vendas mínimas de A:
O volume de vendas de A deve ser pelo menos 80% do total de vendas de A e B.
Isso pode ser expresso como:
Simplificando:
Limite máximo de vendas de A:
A empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia.
Assim:
Não negatividade:
Não faz sentido produzir uma quantidade negativa de produtos.
Então:
Passo 5
Com todas as restrições definidas, temos o seguinte sistema:
Passo 6
Para encontrar a combinação ótima de A e B, vamos representar graficamente as restrições e identificar a região viável. Os pontos onde as restrições se encontram são chamados de vértices, e a solução ótima estará em um desses vértices.
Primeiro, vamos resolver as equações das restrições para :
Passo 7
Encontramos os pontos de interseção:
Interseção de e :
Substituindo na primeira equação:
Ponto:
Interseção de e :
Substituindo na segunda equação:
Ponto:
Interseção de e :
Substituindo na primeira equação:
Ponto:
Passo 8
Os vértices da região viável são:
Passo 9
Vamos calcular o lucro em cada ponto para identificar qual deles é o mais vantajoso:
Para :
Para :
Para :
Resposta
O mix de produtos ótimo para a empresa é produzir 100 unidades de A e 25 unidades de B por dia, resultando em um lucro máximo de $3250.