Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A é de no mínimo 80 % do total de vendas de ambos ( A e B). Contudo, a empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam matéria prima cuja disponibilidade máxima diária é de 240 lb . As taxas de utilização da matéria prima são 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de B. Os lucros unitários de A e B são e $50, respectivamente. Determine o mix de produtos ótimo para a empresa.

Passo 1

Neste exercício, vamos descobrir qual a melhor combinação de produtos A e B que uma empresa deve fabricar para maximizar seus lucros. Para isso, vamos usar conceitos de programação linear, onde analisamos restrições e buscamos alcançar o melhor resultado possível dentro dessas limitações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
  • : número de unidades do produto A fabricadas por dia.
  • : número de unidades do produto B fabricadas por dia.

Passo 3

A função objetivo representa o lucro total que queremos maximizar. Sabemos que:
  • O lucro por unidade de A é $20.
  • O lucro por unidade de B é $50.
Então, a função objetivo é:
20 - O lucro por unidade de B é

Passo 4

Agora, vamos identificar as restrições do problema:
  1. Disponibilidade de matéria-prima:
    • Cada unidade de A usa 2 lb de matéria-prima.
    • Cada unidade de B usa 4 lb de matéria-prima.
    • A disponibilidade máxima diária é de 240 lb.
    Portanto:
    2A + 4B <= 240
  2. Vendas mínimas de A:
    • O volume de vendas de A deve ser pelo menos 80% do total de vendas de A e B.
    Isso pode ser expresso como:
    A >= 0.8(A + B)
    Simplificando:
    A >= 0.8A + 0.8B 0.2A >= 0.8B A >= 4B
  3. Limite máximo de vendas de A:
    • A empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia.
    Assim:
    A <= 100
  4. Não negatividade:
    • Não faz sentido produzir uma quantidade negativa de produtos.
    Então:
    A >= 0 B >= 0

Passo 5

Com todas as restrições definidas, temos o seguinte sistema:
Maximizar 20A + 50B Sujeito a: 2A + 4B <= 240 A >= 4B A <= 100 A >= 0 B >= 0

Passo 6

Para encontrar a combinação ótima de A e B, vamos representar graficamente as restrições e identificar a região viável. Os pontos onde as restrições se encontram são chamados de vértices, e a solução ótima estará em um desses vértices.
Primeiro, vamos resolver as equações das restrições para :

Passo 7

Encontramos os pontos de interseção:
  1. Interseção de 2(4B) + 4B = 240 8B + 4B = 240 12B = 240 B = 20 A = 80 e 100 = 4B B = 25 :
    Substituindo 2(100) + 4B = 240 200 + 4B = 240 4B = 40 B = 10 na primeira equação:
    Ponto:
  2. Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação:
    Ponto:
  3. Interseção de e :
    Substituindo na primeira equação:
    Ponto:

Passo 8

Os vértices da região viável são:

Passo 9

Vamos calcular o lucro em cada ponto para identificar qual deles é o mais vantajoso:
  1. Para Lucro = 20(80) + 50(20) = 1600 + 1000 = $2600 :
Lucro = 20(100) + 50(25) = 2000 + 1250 = $3250
  1. Para Lucro = 20(100) + 50(10) = 2000 + 500 = $2500 :
  1. Para :

Resposta

O mix de produtos ótimo para a empresa é produzir 100 unidades de A e 25 unidades de B por dia, resultando em um lucro máximo de $3250.

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