© Existe um analisador disponível para determinar a composição de misturas etanol-água. A curva de calibração do analisador é uma linha reta em um gráfico de eixos logarítmicos da fração mássica de etanol, x(kg E / kg mistura) versus a leitura do analisador, R. A linha passa pelos pontos ( R=15, x=0,100) e(R= 38, x=0,400). Deduza uma expressão para x como função de R(x=ldots) baseada na calibração e use-a para determinar o valor de R que deve ser obtido se a corrente de produto do topo é analisada.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um analisador que mede a composição de misturas de etanol e água. A curva de calibração desse analisador é uma linha reta em um gráfico onde ambos os eixos (fração mássica de etanol, , e leitura do analisador, ) estão em escala logarítmica. A gente precisa encontrar uma expressão que relaciona com usando essa calibração e depois determinar o valor de para a corrente de produto do topo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma linha reta em um gráfico de escalas logarítmicas. Quando plotamos x = c cdot R^a versus e dá uma linha reta, isso indica que e estão relacionados por uma potência. Ou seja, podemos expressar como:
onde e são constantes que precisamos determinar usando os pontos dados da calibração.

Passo 3

Temos dois pontos na curva de calibração: log(x) = log(c) + a cdot log(R) e log(0.100) = log(c) + a cdot log(15) log(0.400) = log(c) + a cdot log(38) . Vamos usar esses pontos para encontrar as constantes e .
Primeiro, aplicamos logaritmo nos dois lados da equação:
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 4

Vamos calcular os logaritmos:
log(0.100) = -1
log(0.400) approx -0.39794
log(15) approx 1.1761
log(38) approx 1.5798
Agora, nosso sistema fica:
-1 = log(c) + a cdot 1.1761 -0.39794 = log(c) + a cdot 1.5798

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar -0.39794 - (-1) = a (1.5798 - 1.1761) :
0.60206 = a cdot 0.4037
a approx 0.602060.4037 approx 1.492
-1 = log(c) + 1.492 cdot 1.1761
Agora, substituímos o valor de -1 = log(c) + 1.754 em uma das equações para encontrar log(c) = -1 - 1.754 = -2.754 :
c = 10^-2.754 approx 0.00177
Portanto,

Passo 6

Agora temos a expressão que relaciona x = 0.00177 cdot R^1.492 e :

Passo 7

Para encontrar o valor de 0.200 = 0.00177 cdot R^1.492 para a corrente de produto do topo, precisamos saber a fração mássica de etanol dessa corrente. Supondo que a composição do topo seja R^1.492 = 0.2000.00177 approx 113.0 , por exemplo, podemos rearranjar a equação para encontrar R = (113.0)^11.492 approx 38 :

Resposta

A expressão que relaciona a fração mássica de etanol x = 0.00177 cdot R^1.492 com a leitura do analisador é:
Usando essa relação, o valor de que deve ser obtido para a corrente de produto do topo analisada é aproximadamente 38.

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