Quantas arestas tem o cubo de dimensão k ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta: “Quantas arestas tem o cubo de dimensão ?”. Então, a gente precisa descobrir quantas linhas (arestas) existem em um cubo que está em uma dimensão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria de alta dimensão, conhecendo um pouco sobre hipercubos. Vamos precisar entender como as arestas se comportam em diferentes dimensões para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um cubo em diferentes dimensões:
  • 1 dimensão (1D): Um cubo de 1D é apenas um segmento de reta, que tem 1 aresta.
  • 2 dimensões (2D): Aqui, temos um quadrado, que possui 4 arestas.
  • 3 dimensões (3D): O clássico cubo tem 12 arestas.
  • 4 dimensões (4D): Chamado de tesseract, tem 32 arestas.
Viu como, aumentando a dimensão, o número de arestas cresce de forma interessante. Mas como generalizar isso para qualquer dimensão ?

Passo 3

Para isso, vamos entender a fórmula geral para calcular o número de arestas em um hipercubo de dimensão Número de arestas = k times 2^k-1 . A fórmula é:
ú
Vamos decompor essa fórmula:
  • : Representa a dimensão do cubo.
  • : Vem do fato de que a cada nova dimensão, as arestas duplicam para conectar as novas “cópias” do cubo.

Passo 4

Vamos ver como essa fórmula funciona com alguns exemplos:
  • Para 1 times 2^1-1 = 1 times 2^0 = 1 times 1 = 1 :
    2 times 2^2-1 = 2 times 2^1 = 2 times 2 = 4
    Correto! Um segmento de reta tem 1 aresta.
  • Para 3 times 2^3-1 = 3 times 2^2 = 3 times 4 = 12 :
    4 times 2^4-1 = 4 times 2^3 = 4 times 8 = 32
    Certíssimo! Um quadrado tem 4 arestas.
  • Para :
    Exatamente! Um cubo possui 12 arestas.
  • Para :
    Perfeito! Um tesseract tem 32 arestas.

Passo 5

Então, a fórmula funciona para qualquer dimensão . Ela conta todas as arestas que conectam os vértices do hipercubo, levando em conta como essas conexões se duplicam a cada nova dimensão adicionada.

Resposta

A quantidade de arestas em um cubo de dimensão k times 2^k-1 é dada por:

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