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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 97

11-97. Considere uma situação em que ambas as variáveis Y e X

sejam aleatórias. Faça s, e s, serem os desvios-padráo amostrais dos

valores observados de x's e y's. respectivamente. Mostre que uma

expressão alternativa para o modelo ajustado de regressão lincar

simples

y ^ = y - + r s y s x ( x - x - )

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Suponha que Y e X sejam variáveis ​​aleatórias. Isso implica que pode haver uma correlação entre eles e que pode ser usado. Denote com s X  e  s Y os desvios padrão da amostra dos valores observados correspondentes. Considere os estimadores imparciais da interceptação e a inclinação dada por

β ^ 0 = Y - - β ^ 1 X - β ^ 1 = S x y S x x

Usando o coeficiente de correlação ρ R ,   o estimador   β 1   pode ser escrito como

β ^ 1 = ρ S S T S x x = R S S T S x x

Passo 2

Agora, usando o fato de que as variâncias da amostra de X i  e  Y i   são

s x 2 = S S T n - 1 s y 2 = S S t n - 1

reativamente, a estimativa torna-se

β ^ 1 = S x y S x x = r s y 2 s x 2 = r s y s x

Finalmente, ao substituir essas duas estimativas, temos

y ^ = y - - r s y s x x - + r s y s x x = y - + r s y s x ( x - x - )

como era para ser visto.

Resposta

Reescreva o estimador  beta  1   em termos de r.

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