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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 3

Para alguma constante c, a variável aleatória X tem a função densidade de probabilidade

f ( x ) = { c . x 4 ,   0 < x < 2 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o  

Determine :

  1. E[X];
  2. V a r   ( X ) .

Passo 1

E aí..... Tudo Beleza? Bora para o exercício =)

Para começar devemos descobrir o valor de c, resolvendo a integral da função densidade que contém esta incógnita.

∫ 0 2 c . x 4 d x = c . ∫ 0 2 x 4 d x = 32 . c 5 → c = 5 32 .

Agora sim, podemos resolver a letra a da questão, que no pode o valor esperado ou esperança da função densidade, que pode ser determinada pela equação abaixo:

E X = ∑ 1 n x i . f x i

E X = ∫ 0 2 x . c . x 4 d x = c . ∫ 0 2 x 5 = 5 32 . 64 6 = 5 3

Passo 2

Para a letra b, obteremos a variância de X, que pode ser obtida pela fórmula abaixo;

V a r X = E X 2 - E X 2

Considerando a fórmula devemos encontrar o valor de E X 2 , dá mesma forma que feito anteriormente, então:

E X = ∫ 0 2 x 2 . c . x 4 d x = c . ∫ 0 2 x 6 d x = 5 32 . 128 7 = 20 7

Agora então substituiremos os valores na fórmula de variância.

V a r X = E X 2 - E X 2 = 20 7 - 5 3 2 = 5 63

Resposta

  1. E X = 5 3 ;
  2. V a r   X = 5 63 .