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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 14

Uma ambulância viaja em ambos os sentidos de uma estrada de comprimento L com velocidade constante. Em certo instante de tempo, um acidente ocorre em um ponto uniformemente distribuído na estrada [isto é, a distância do local do acidente até um dos pontos fixos no final da estrada é uniformemente distribuída ao longo de (0,L)]. Supondo que a localização da ambulância no momento do acidente também seja uniformemente distribuída e que as variáveis sejam independentes, calcule a distribuição da distância da ambulância até o local do acidente

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos dizer que X   e   Y são as localizações da ambulância e o acidente no momento em que o acidente ocorre. X   e   Y são independentes e seguem uma distribuição uniforme sobre 0 , L .

A função densidade de probabilidade de X é:

f x = 1 L ,       0 < x < L 0 ,       d i f e r e n t e

A função densidade de probabilidade de Y é:

f x = 1 L ,       0 < y < L 0 ,       d i f e r e n t e

Como X   e   Y são independentes, a densidade da junta vai ser:

f x , y = f x × f y

f x , y = 1 L ²

Então:

f x , y = 1 L ² ,       0 < x , y < L 0 ,       d i f e r e n t e

Passo 2

Beleza, vamos calcular a distribuição da distância da ambulância ao acidente.

A distância do acidente é X - Y , logo:

P Y - X ≤ a = P 0 < Y - X < a + P ( 0 < Y - X < - a )

P Y - X ≤ a = P X < Y < a + X + P ( Y + a < X < Y )

Jogando na fórmula:

P Y - X ≤ a = 2 L 2 ∫ 0 L - a ∫ y y + a d x d y + ∫ L - a L ∫ y L d x d y

Calculando:

P Y - X ≤ a = 2 L 2 ∫ 0 L - a a d y + ∫ L - a L L - y d y

P Y - X ≤ a = 2 L 2 a ( L - a ) + ( L 2 - L 2 2 + L - a 2 2 - L ( L - a )

P Y - X ≤ a = 2 L 2 a ( L - a ) + ( L 2 - L 2 2 + L - a 2 2 - L ( L - a ) = a L 2 - a L

Resposta

a L 2 - a L