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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 46

Em um ano qualquer, um homem usará o seu seguro de carro com probabilidade p m , e uma mulher terá probabilidade   p f de usar o seu seguro de carro, onde p f ≠ p m . A fração de segurados homens é igual a α , 0 < α < 1 . Um segurado é escolhido aleatoriamente. Se A, representar o evento em que este segurado fará uso de seu seguro em um ano, mostre que

P A 2 A 1 > P ( A 1 )

Dê uma explicação intuitiva do porquê da desigualdade anterior ser verdade.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos identificar os eventos, que são esses aqui:

M - U m a   p e s s o a   d o   s e x o   m a s c u l i n o  

F - U m a   p e s s o a   d o   s e x o   f e m i n i n o   ( M = F C )

A i - U m a   p e s s o a   q u e   p a r t i c i p o u   d e   a l g u m   a c i d e n t e   n o   i - é s i m o   a n o

Agora, temos as probabilidades, a porcentagem de homens e mulheres é dada por

P M = α

Homens e mulheres têm diferentes probabilidades de fazerem parte de um acidente, com isso, nós temos as seguintes probabilidades condicionais

p m = P A i M

p f = P A i F ,       ∀ i

Vamos assumir que os eventos que um acidente ocorre em anos diferentes são independentes dado F (ou M), matematicamente, será escrito assim

P A j A i F = P A i F ∙ P ( A j | F )

Nós temos que provar o seguinte argumento

P A 2 A 1 > P ( A 1 )

Passo 2

A probabilidade de um acidente para uma pessoa de sexo desconhecido está em algum lugar entre as probabilidades para homens e mulheres. É a média ponderada de p m e p f , sendo as alturas as probabilidades de uma pessoa ser do sexo masculino ou feminino.

Se ocorrer um acidente, haverá maior probabilidade de estar na categoria com maior risco de acidentes, portanto, a probabilidade de ocorrer outro acidente é maior.

De forma formal, vamos condicionar o M e o F, portanto

P A 1 = P A 1 F P F + P A 1 M P ( M )

Substituindo os termos, nós temos que

P A 1 = p f ∙ 1 - α + p m ∙ α

Para a probabilidade de P ( A 2 | A 1 ) , ela também é dependente dos termos de F e M, com isso, nós temos que

P A 2 A 1 = P A 2 A 1 P A 1 = P A 2 A 1 M P M + P A 2 A 1 F P ( F ) P ( A 1 )

Usando o princípio da multiplicação, nós vamos deixar essa continha um pouco mais longa, mas relaxe, vai facilitar as coisas no final

P A 2   A 1 = P A 2 M P A 1 M P M + P A 2 F P A 1 F P ( F ) P ( A 1 )

Substituindo os termos, nós temos que

P A 2 A 1 = p m 2 α + p f 2 ( 1 - α ) P ( A 1 )

Fazendo uma pequena manipulação, nós obtemos o seguinte resultado

P A 2 A 1 = p m p m α P A 1 + p f p f ∙ ( 1 - α ) P A 1

Passo 3

Sem perda generalidade, nós temos que p m > p f , portanto:

p m P A 1 > 1

Uma vez que

p m > p f ∙ 1 - α + p m ∙ α

Já que

p m 1 - α > p f ( 1 - α )

Disso tudo tiramos que

p m α P A 1 > α   ↔ p m α P A 1 = α + ϵ ,       p a r a   a l g u m   ϵ > 0

Disso também tiramos que

p m 1 - α P A 1 = 1 - p m α P A 1 ↔ p m 1 - α P A 1 = 1 - α - ϵ

Então juntando todas essas informações, nós temos que

P A 2 A 1 - P A = p m α + ϵ + p f 1 - α - ϵ - p m α - p f ( 1 - α )

Com isso, simplificando alguns termos nós obtemos

P A 2 A 1 = p m ϵ + p f - ϵ = ϵ p m - p f

E como a suposição inicial era p m > p f e ϵ > 0 , finalmente conseguimos provar a afirmação da questão

P A 2 A 1 - P A 1 > 0 ↔ P A 2 A 1 > P ( A 1 )

Concluindo a prova formal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)