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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 1

Uma apostadora joga simultaneamente uma moeda e um dado honestos. Se a moeda der cara, ela então ganha o dobro do valor que aparecer no dado; se der coroa, ela ganha a metade. Determine seus ganhos esperados.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos deixar a variável aleatória X representar o resultado no lançamento de uma moeda honesta. E vamos deixar a variável aleatória Y representar o número no dado.

Se o dado der cara, ganhamos o dobro dos dígitos no dado, e se rolarmos coroa então ganhamos 1/2 do dígito do dado, a probabilidade nesse caso será igual a

P X = C a r a s = P X = C o r o a = 1 2

A probabilidade de obtermos qualquer número individual no dado é

P Y = 1 = P Y = 2 = … = P Y = 6 = 1 6

Passo 2

Vamos determinar os ganhos esperados. Primeiro, temos que encontrar os ganhos esperados se a moeda der cara.

E C a r a s Y X = C a r a s = E 2 Y ∙ P X = C a r a s

Com isso, nós temos que

E C a r a s Y X = C a r a s = 2 ∙ P X = C a r a s ∙ E ( Y )

Substituindo os valores, nós temos que

E C a r a s Y X = C a r a s = 2 ∙ 1 2 ∙ 1 ∙ 1 6 + 2 ∙ 1 6 + … + 6 ∙ 1 6    

Com isso, obtemos o seguinte resultado

E C a r a s Y X = C a r a s = 3,5

Passo 3

Agora, temos que encontrar os ganhos esperados se a moeda der coroa.

E C o r o a Y X = C o r o a = E 1 2 Y ∙ P ( X = C o r o a )

Com isso, nós temos que

E C o r o a Y X = C o r o a = 1 2 ∙ P X = C o r o a ∙ E ( Y )

Substituindo os valores, nós temos que

E C o r o a Y X = C o r o a = 1 2 ∙ 1 2 ∙ 1 ∙ 1 6 + 2 ∙ 1 6 + … + 6 ∙ 1 6

E temos o seguinte resultado

E C o r o a Y X = C o r o a = 0,875

Finalmente, podemos determinar os ganhos esperados

E =   E C a r a s Y X = C a r a s +   E C o r o a Y X = C o r o a  

Substituindo os valores, nós temos que

E = 3,5 + 0,875 = 4,375

Resposta

4,375