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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 46

Assumindo um modelo de efeitos aleatórios, mostre que

E ( S Q T r ) = ( r - 1 ) σ 2 + r σ r 3

para um delineamento de quadrado latino.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

No design quadrado latino, há r linhas, r colunas e r tratamentos. O modelo matemático linear para o experimento de quadrado latino (assumimos que o modelo de efeito aleatório) é

Y i j k = μ + A i + B j + T k + ϵ i j k i = 1,2 , … . . r ; j = 1,2 , … . r → ( 1 )

Onde e A i , B j , T k sendo variável aleatória independente com média zero e ϵ i j variâncias e respectivamente σ α 2 , σ β 2 , σ τ 2 e σ 2 ser o rendimento da unidade de Y i j k coluna na j th  linha que recebe i th  tratamento. k th  Aplicamos 1 r ∑ i   ∑ j   na equação (1)

  ⇒ 1 r ∑ i     ∑ j     Y i j k = 1 r ∑ i     ∑ j     μ + 1 r ∑ i     ∑ j     A i + 1 r ∑ i     ∑ j     B j + 1 r ∑ i     ∑ j     T k + 1 r ∑ i     ∑ j     ϵ i j k   ⇒   Y ‾ . k   = μ + 1 r ∑ i     ∑ j     A i + 1 r ∑ i     ∑ j     B j + T k + ϵ ‾ . k → ( 2 )

Passo 2

Aplicamos 1 r 2 ∑ i   ∑ j   ∑ k   na equação (1)

  ⇒ 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     Y i j k = 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     μ + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     A i + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     B j     + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     T k + 1 r 2 ∑ i     ∑ j     ∑ k     ϵ i j k   ⇒ y ‾ … = μ + 1 r ∑ i     A i + 1 r ∑ j     B j + 1 r ∑ k     T k + ϵ ‾ … - - - - → ( 3 )   Dado   ∈ i j k = N 0 , σ 2   ⇒ E ϵ i j k = 0   e   V a r ⁡ ϵ i j k = σ 2   de   V a r ⁡ ϵ i j k = σ 2 E ϵ i j k 2 - E ϵ i j k 2 = σ 2 ⇒   E ϵ i j k 2 = σ 2 - ⋯ - - → ( 4 )

Passo 3

Sabemos que ϵ ‾ . k = N 0 , σ 2 r ⇒ E ϵ ‾ . k = 0 e V a r ⁡ ϵ ‾ k = σ 2 r de   V a r ⁡ ϵ ‾ . k = σ 2 r ,

E ϵ ‾ . k 2 - E ϵ ‾ . . k 2 = σ 2 r   ⇒   E ϵ ‾ . 2 2 = σ 2 r - - - ⋯ → ( 5 )

Sabemos que ∈ ‾ = N 0 , σ 2 r 2 ⇒ E ϵ ‾ … = 0 e V a r ⁡ ϵ ‾ … = σ 2 r 2 de V a r ⁡ ϵ ‾ … = σ 2 r 2 , E ϵ ‾ … 2 - E ϵ ‾ … 2 = σ 2 r 2 ⇒   E ∈ … . 2 = σ 2 r 2 - - - - → ( 6 )

Passo 4

Dado A i = N 0 , σ α 2

⇒ E A i = 0   e   V a r ⁡ A i = σ α 2

De V a r ⁡ A i = σ α 2 ,

E A i 2 - E A i 2 = σ α 2   ⇒   E A i 2 = σ α 2 - - - → ( 7 )

Dado B j = N 0 , σ β 2

⇒ E B j = 0   e   V a r ⁡ A i = σ β 2

De V a r ⁡ B j = σ β 2 ,

E B j   2 - E B j 2 = σ β 2   ⇒   E B j   2 = σ β 2 - ⋯ - ⋯ ( 8 )   Dado   T k = N 0 , σ r 2   ⇒ E T k = 0   e   V a r ⁡ T k = σ τ 2   De   V a r ⁡ T k = σ r 2 ,  E T k 2 - E T k 2 = σ τ 2   ⇒   E T k 2 = σ r 2 - ⋯ - - → ( 9 ) E Y i j k 2 = E μ + A i + B j + T k + ϵ i j k 2   De (1)    = E μ 2 + A j   2 + B j   2 + T k + ϵ i j k   2   = E μ 2 + E A i 2 + E B j 2 + E T k + E ϵ i j k   2   = μ 2 + σ α 2 + σ β 2 + σ k 2 + σ 2

E Y ‾ . k 2 = E μ + 1 r ∑ i   ∑ j   A i + 1 r ∑ i   ∑ j   B j + T k + ϵ ‾ k 2 … . . [ De(2) [De( ] = E μ 2 + 1 r 2 ∑ i   ∑ j   E A i 2 + 1 r 2 ∑ i   ∑ j   E B j 2 + E T k 2 + E ϵ ‾ k 2 = E μ 2 + 1 r 2 ∑ i   ∑ j   σ α 2 + 1 r 2 ∑ i   ∑ j   σ β 2 + σ τ 2 + E ϵ ‾ k 2 = μ 2 + σ α 2 r + σ β 2 r + σ τ 2 + σ 2 r 5)] De(3) E Y ‾ … . 2 = E μ + 1 r ∑ i   A i + 1 r ∑ j   B j + 1 r ∑ k   T k + ϵ ‾ … . 2   [ De(6) De ( ] = E μ 2 + 1 r ∑ i   A i 2 + 1 r ∑ j   B j 2 + 1 r ∑ k   T k 2 + ϵ …   2 = E μ 2 + 1 r 2 E 1 r ∑ i   A i 2 + 1 r 2 E 1 r ∑ j   B j 2 + 1 r 2 E 1 r ∑ k   T k 2 + E ϵ … . 2 = μ 2 + 1 r 2 ∑ i   E A i 2 + 1 r 2 ∑ j   E B j 2 + 1 r 2 ∑ k   E T k 2 + σ 2 r 2 [ 7), (8) e (9) ] ] = μ 2 + 1 r 2 ∑ i   σ α 2 + 1 r 2 ∑ j   σ β 2 + 1 r 2 ∑ k   σ τ 2 + σ 2 r 2 [ = μ 2 + 1 r 2 r σ α 2 + 1 r 2 r σ β 2 + 1 r 2 r σ τ 2 + σ 2 r 2 = μ 2 + 1 r σ α 2 + 1 r σ β 2 + 1 r σ r 2 + σ 2 r 2

Passo 5

Expectativa de SSTr é

E ( S S T r ) = E ∑ i     ∑ j     ∑ k     y ‾ - . k - y ‾ … . 2   = E r ∑ k     y ‾ . k 2 + y ‾ … . 2 - 2 y ‾ . . k y ‾ … .   = E r ∑ k     y ‾ . k 2 + r 2 ∑ k     y ‾ … . 2 - 2 r y ‾ … ∑ k     y ‾ . k   = E r ∑ k y ‾ - k 2     + r 2 ∑ k y ‾ … . 2     - 2 r y ‾ … r y ‾ …   = E r ∑ k y . k 2     - r 2 ∑ k - 2     y …   = r ∑ k     E y ‾ . k 2 - r 2 ∑ k     E y ‾ … 2   = r 2 μ 2 + σ α 2 r + σ β 2 r + σ τ 2 + σ 2 r - r 2 μ 2 + 1 r σ α 2 + 1 r σ β 2 + 1 r σ τ 2 + σ 2 r 2   = r 2 μ 2 + r σ α 2 + r σ β 2 + r 2 σ τ 2 + r σ 2 - r 2 μ 2 - r σ α 2 - r σ β 2 - r σ τ 2 - σ 2   = r 2 σ τ 2 - r σ τ 2 + r σ 2 - σ 2   = r ( r - 1 ) σ r 2 + σ 2 ( r - 1 )   = ( r - 1 ) r σ r 2 + σ 2

Portanto E ( S S T r ) = ( r - 1 ) σ 2 + r σ τ 2

Resposta

Resposta nos passos.