Cada jogada de um dado viciado resulta em cada um dos números ímpares 1,3 e 5 com probabilidade C, e em cada um dos números pares com probabilidade 2C.

(a) Determine C.

(b) Suponha que o dado seja jogado. Suponha que X = 1 se o resultado for um número par e X = 0 caso contrário. Além disso, suponha que Y = 1 se o resultado for um número maior ou igual a 3 e Y = 0 caso contrário. Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y. Suponha agora que 12 jogadas independentes sejam feitas com o dado.

(c) Determine a probabilidade de que cada um dos 6 resultados ocorra exatamente duas vezes.

(d) Determine a probabilidade de que quatro dos resultados sejam 1 ou 2, quatro sejam 3 ou 4, e quatro sejam 5 ou 6.

(e) Determine a probabilidade de que pelo menos 8 jogadas resultem em números pares.

Para resolvermos a letra b, devemos levar em conta que a probabilidade conjunta será tomada pela fórmula abaixo:

Considerando isso, agora devemos levar em conta as probabilidades de todas as possibilidades entre X e Y, sendo que valores ímpares possuem probabilidade e valores pares , sendo assim teremos:

, considerando que neste caso só há a possibilidade de termos 4 e 6 que condizem com o que precisamos.

, neste caso só poderemos ter o número dois como resposta.

, neste caso temos 3 e 5, como resultados possíveis;

, neste caso teremos somente o 1 como resultado possível.

Para começarmos a letra c, devemos considerar que deve cair exatamente os seis números repetidos, considerando isso devemos considerar que a ordem não importa, então devemos levar em conta o arranjo destas combinações e as respectivas probabilidades para o cálculo.

Para resolvermos a letra d, devemos levar em conta a combinação das doze tentativas em 3 grupos de 4, levando em conta este arranjo e as probabilidades como demonstradas abaixo.

Para a letra e, temos que considerar que temos um número sendo assim a probabilidade será obtida pelos somatórios dos arranjos de doze em i, considerando as probabilidades obtidas.

E agora, bora para o próximo =)