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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 11

Em cada uma das n jogadas independentes de uma moeda, obtém-se cara com uma probabilidade p. Quão grande precisa ser n para que a probabilidade de se obter pelo menos uma cara seja de pelo menos 1/2?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos uma moeda que tem uma probabilidade p de cair cara, n sorteios independentes, e o seguinte evento:

A -   e v e n t o   e m   q u e   p e l o   m e n o s   u m   c a r a   o c o r r e u

Com isso, nós vamos determinar a relação entre n e p dado que P A ≥ 1 2

Passo 2

Vamos inverter os casos aqui, vamos pensar no complementar P ( A c ) , com isso, temos o seguinte evento

A c =   n e n h u m a   c a r a   o c o r r e u ,   o u   s e j a ,   t o d o s   o s   l a n ç a m e n t o s   f o r a m   c o r o a s

Como P c o r o a = 1 - p e os lançamentos/sorteios são independentes, temos que

P A c = 1 - p n

Logo

P A = 1 - 1 - p n

Passo 3

Agora, vamos para as desigualdades e encontrar este bendito valor

P A ≥ 1 2

Com isso, nós temos

1 - 1 - p n ≥ 1 2

Passando o 1 para o outro lado e invertendo os sinais, nós obtemos o seguinte resultado

1 - p n ≤ 1 2

Logo, isso ficará igual a

1 - p ≤ 1

Com isso

n ≥ log ( 1 - p ) ⁡ 1 2

Resposta

n ≥ log ( 1 - p ) ⁡ 1 2