Cada um de m + 2 jogadores deposita 1 unidade em uma caixinha com o intuito de jogar o seguinte jogo: uma moeda honesta é jogada sucessivamente n vezes, onde n é um número ímpar, e os resultados obtidos são anotados. Antes das n jogadas, cada jogador escreve o seu palpite. Por exemplo, se n = 3, então um jogador pode escrever (H, H, T), o que quer dizer que ele acha que as duas primeiras jogadas vão dar cara (H) e a terceira jogada vai dar coroa (T). Após as jogadas, o jogador conta o número total de palpites corretos. Assim, se saírem 3 caras, o jogador que escreveu (H, H, T) terá 2 palpites corretos. A caixinha com os depósitos de todos os m + 2 jogadores é então dividida igualmente entre os jogadores com o maior número de palpites certos.

Como cada uma das jogadas tem a mesma probabilidade de dar cara ou coroa, m dos jogadores decidiram fazer seus palpites de maneira completamente aleatória. Especificamente, eles vão jogar uma de suas próprias moedas honestas n vezes e então usar o resultado obtido como palpite. Entretanto, os 2 últimos jogadores formaram uma sociedade e utilizarão a seguinte estratégia: um deles fará seus palpites da mesma maneira aleatória que os demais jogadores, mas o outro fará uma aposta exatamente oposta à do primeiro. Isto é, se um deles apostar cara, o outro apostará coroa. Por exemplo, se o palpite de um for (H, H, T), o palpite do outro será (T, T, H).

(a) Mostre que exatamente um dos membros da sociedade terá mais de palpites corretos (lembre que n é ímpar).

(b) Suponha que X represente quantos dos m jogadores não participantes da sociedade terão mais de palpites corretos. Qual é a distribuição de X?

(c) Com X definido como na letra (b), mostre que

(d) Use a letra (c) do Problema 59 para concluir que

e calcule explicitamente este número quando m = 1,2, e 3. Como é possível mostrar que

tem-se que a estratégia da sociedade sempre leva a um lucro esperado positivo.

Passo 1

Passo 2

Resposta